几何概率模型教案 易懂好学：几何概率模型
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一、几何概率模型
① 样本空间的样本点为无限个
② 每个样本点发生的可能性是均等的
③ P(A)=事件A的几何度量值/样本空间的几何度量值
说明：如果样本空间的样本点为有限个，则为古典概型
通过2个例子，来感受下两者的区别
① 例：在[1,4]区间内，任意取一个整数，求该整数＜2的概率
设：事件A为整数＜2
第1步：求样本空间 Ω的样本点个数{1,2,3,4} 为4个
第2步：求事件A的样本点个数{1}为1个
所以：P(A)=1/4=25%
② 例：在[1,4]区间内，任意取一个实数，求该实数＜2的概率
分析：实数在[1,4]区间内，是存在无限个的，也就是有数不尽的
设：事件A为实数<2
第1步：求样本空间Ω的样本点构成的区域长度{1_2_3_4}为3
第2步：求事件A的样本点构成的区域长度{1_2}为1
所以：P(A)=1/3≈33%
不难发现，样本空间为无限个的时候，计算事件A的概率：
是以几何度量的比值来计算的，这就是几何概型
比如：长度比值、面积比值、角度比值、体积比值
二、几何概型完整公式
P(A)=frac{事件A构成的区域及度量值}{样本空间构成的区域及度量值(长度/面积/角度/体积等)}
*** 几何概型问题求解步骤 ****
① 开始：判断样本空间是为无限个
② 则：明确 Ω 的取点区域范围
③ 继：确定所求概率事件中点的区域范围 A
④ 继：计算Ω区域和A区域的几何度量值 Ω_{n},A_{n}
⑤ 终：计算所求问题的概率 P(A)=frac{A_{n}}{Ω_{n}}
2.1 区域度量：长度相关的例子
例：有一根长度为3米的线，拉直后在任意位置剪断，剪得的两段长度都不＜1米的概率
设：事件A为剪得的两段长度都不＜1米
第1步：求样本空间构成的区域度量为：3米(长度)
第2步：求事件A的区域度量为：1米(长度)
通过画图分析得到，如下图
所以：P(A)=1/3≈33%
2.2
区域度量：面积相关的例子
例：有一射击靶，面积为0.3平米，其中靶心为0.1平方米，假设在靶内任意位置射击1次，求射中靶心的概率
设：事件A为击中靶心
第1步：求样本空间构成的区域度量为：0.3平米(面积)
第2步：求事件A的区域度量为：0.1平米(面积)
所以：P(A)=0.1/0.3=1/3≈33%
2.3 区域体积(容积)相关的例子
例：有一盆100ml的水中有一个A细胞，从中随机取出10ml放到显微镜下观察，求发现A细胞的概率
设：事件A为10ml水中发现A细胞
第1步：求样本空间构成的区域度量为：100ml（容积）
第2步：求事件A的区域度量为：10ml（容积）
所以：P(A)=10/100=10%
三、几个经典的问题
3.1 线段上投1个点
投1个点，有无数种可能，但1个点无法构成一个区域范围
所以是无法计算出概率的，同样的，在面积上投1个点同理
所以，在几何概型中，事件A发生的前提是存在一个定义好的区域范围
于是，可以发现：
概率为0，不代表事件不可能发生，是成立的！这条适用于：古典和几何概型
概率为1的事件，一定是必然事件，是成立的！这条适用于：古典概型
概率为1的事件，一定是必然事件，是不成立的！这条适用于：几何概型
3.2 求线段长度问题
类似的有：等公交，等红绿灯，等闹钟叫，等电话呼，等水烧开...
例：有一公交站台，平均每10分钟开出一班车，问小明到达站台后2分钟内能坐上车的概率
分析：时间的度量值，是可以无限细分的，也就是无限个数的
所以：是一个几何概型问题
设：事件A为小明到达站台后2分钟内能坐上车
第1步：求样本空间构成的区域度量为：10分钟
第2步：求事件A构成的区域度量为：2分钟
通过画图分析得到，如下图
所以：P(A)=2/10=1/5=20%
3.3 求阴影面积问题
类似的有：各种能否遇到或不遇到的问题，比如：会面问题、取报纸等，下例为不遇到问题
例：ABCD为长方形，AB=20cm，BC=10cm，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取1点
问：取到的点到O距离>10cm的概率
设：事件A为取到的A到O的距离>10cm
第1步：求样本空间Ω构成的区域：20×10=200平方厘米(面积)
第2步：求事件A构成的区域：长方形的面积-半圆的面积=200-157≈43平方厘米
通过画图分析得到，如下图
所以：P(A)≈43/200≈21.5%
3.5 蒲丰投针问题
大概是说：把针随机的投在一个区域内，得出了一个几何概率模型
印象里是：通过计算两个变量来确定事件A范围的，其中有一个是角度
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