效应量怎么报告(解读方差分析中的效应量)
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1.方差分析的效应量
效应量就是实验处理的效果。处理的效果有多大，可以从效应量反映出来。例如，在t检验中，最直观的就是比较两个处理的均值（均值差除以标准差）。
在方差分析中，由于处理数大于2，通过两两比较均值来反应效应量不太恰当，所以需要一个全局的效应量。此时，用处理的变异与总体的变异比值，可以很好的反应处理的效果。
在总体中，使用方差表示变异，用omega_{effect}^2表示效应量：
omega_{effect}^2=dfrac{sigma_{effect}^2}{sigma_{total}^2}tag{1.1}
上述公式适用于单因素和多因素的方差分析。例如，在两因素方差分析中，A因素的效应量为：
omega_{A}^2=dfrac{sigma_{A}^2}{sigma_{total}^2} \
1.2 偏效应量
完全效应量的分母是总体的方差，也就是说，A因素的效应量大小受到了其他因素变异的影响。如果想要排除这种影响，得到“纯净”的A因素效应量，可以使用偏效应量omega_{(A)}^2:（此处下标用括号表示偏效应量，下同）
omega_{(A)}^2=dfrac{sigma_{A}^2}{sigma_{A}^2+sigma_{error}^2}tag{1.2}
1.3 效应量的估计
由于总体的方差是未知的，公式1.1和1.2只是理论公式，并不能实际运用。如果要使用样本数据来估计效应量，有以下几种方法：
1.3.1 最常用的eta^2
eta^2是最为常用的效应量，SPSS报告的就是偏eta^2。其计算与公式1.1和公式1.2非常类似，只是使用了样本的平方和代替总体方差作为变异。
完全eta^2:
eta_A^2=dfrac{SS_A}{SS_T}tag{1.3}
可见，此时的eta^2与线性回归中的决定系数R^2是一致的，所以有时也使用R^2来表示。
偏eta^2:
eta_{(A)}^2=dfrac{SS_A}{SS_A+SS_E}tag{1.4}
公式1.3与1.4计算非常方便，但是在paper中通常不会报告平方和，只会报告F值。这时，我们可以用等价的公式，利用F值计算偏eta^2
begin{align*} eta_{(A)}^2&=dfrac{SS_A}{SS_A+SS_E}\[2ex] &=dfrac{F_Atimes MS_Etimes df_A}{F_Atimes MS_Etimes df_A+MS_Etimes df_E}\[2ex] &=dfrac{F_Atimes df_A}{F_Atimes df_A+df_E}tag{1.5} end{align*}
同理，也可以计算完全eta^2。
1.3.2 不常用但更准确的hatomega^2
eta^2虽然最为常用（SPSS, G*POWER都使用），但它是有偏的，通常会高估效应量。可以想象一下，假设效应完全不存在，但由于抽样误差，SS_A不可能为0，所以计算出来的eta^2肯定是大于0的。
如果要更为准确的估计效应量，可以使用hatomega^2
偏效应量的计算如下：
begin{align*} hatomega_{(A)}^2&=dfrac{df_A(F_A-1)}{df_A(F_A-1)+N}tag{1.6} end{align*}
其中N是总的样本量。
可见，hatomega_{(A)}^2与eta_{(A)}^2相比，用F_A-1代替F_A。当效应量完全不存在时，F_A会非常接近1，使得hatomega_{(A)}^2变得很小，估计得更为准确。
不过，当样本量非常大时，hatomega_{(A)}^2与eta_{(A)}^2非常接近。所以，hatomega_{(A)}^2通常在样本量较小时使用。
1.3.3 更加直观的Cohen's f
以因素A的主效应为例
当方差分析的零假设成立（alpha_i=0）时，F_A=dfrac{MS_A/df_A}{MS_E/df_E}服从自由度为(df_A,df_E)的F分布。
但如果是备择假设成立(alpha_ineq 0)时，F_A服从的是自由度为(df_A,df_E)的非中心F分布，非中心参数为
lambda=Ndfrac{sigma_A^2}{sigma_E^2}tag{1.7}
其中N是总样本量。所谓非中心参数，可以简单理解为偏离原来F分布的程度，只不过此时F分布的形态也会发生变化，而不像正态分布那样只是简单的平移。如图：
图中红线就是零假设成立时的F分布，蓝线是非中心F分布。
此时，令：f_{(A)}^2=dfrac{sigma_A^2}{sigma_E^2}，f称为Cohen‘s f。
与公式1.2相比，得到：
f_{(A)}^2=dfrac{omega_{(A)}^2}{1-omega_{(A)}^2} \
如果用偏eta^2 来估计偏omega^2,得到
f_{(A)}^2=dfrac{eta_{(A)}^2}{1-eta_{(A)}^2}=dfrac{SS_A}{SS_E}=F_Atimes dfrac{df_A}{df_E}tag{1.8}
同理，也可以用偏hatomega^2来估计
得到f以后，便可以通过f来估计lambda ，此时有两种方法
方法一：用公式1.7直接估计（G*POWER3.1使用这种方法）
方法二：将公式1.7中的N替换成误差自由度df_E(SPSS使用这种方法)
方法二估计出来的非中心参数比方法一要低一些，如果进一步估计Power的话，也会较低。
实验结束后，便可以根据数据结果估计效应量，进一步计算非中心参数。得到了非中心参数后，上图蓝色的分布就可以确定了（蓝色分布与红色分布的区别就在于非中心参数）。此时，便可以根据预设的alpha确定的临界值，在蓝色分布中确定beta。
数据实例
某研究者进行了一项两因素完全随机设计，其中A因素有2个水平，B因素有3个水平，共6个处理。每个处理之下有5个被试。数据如下：
对数据进行两因素方差分析得到：
factorA=factor(c(rep(1,15),rep(2,15)))factorB=factor(c(rep(1,5),rep(2,5),rep(3,5),rep(1,5),rep(2,5),rep(3,5)))value=c(2,1,4,4,2, 3,4,4,5,1, 5,7,7,3,6, 8,10,12,11,6, 6,4,3,3,2, 3,4,4,5,3)df=data.frame(factorA,factorB,value)model_aov=aov(value~factorA*factorB)summary(model_aov)> summary(model_aov) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factorA 1 22.53 22.53 8.611 0.00725 ** factorB 2 31.27 15.63 5.975 0.00784 ** factorA:factorB 2 101.27 50.63 19.350 9.89e-06 ***Residuals 24 62.80 2.62 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1根据alpha=0.05各效应对应的临界F值为:F_{(1,24,0.05)}=4.260；F_{(2,24,0.05)}=3.403
估计各效应的偏eta^2：
eta_{(A)}^2=dfrac{F_Atimes df_A}{F_Atimes df_A+df_E}=dfrac{8.611times1}{8.611times 1+24}=0.264
eta_{(B)}^2=dfrac{F_Btimes df_B}{F_Btimes df_B+df_E}=dfrac{5.975times2}{5.975times 2+24}=0.332
eta_{(Atimes B)}^2=dfrac{F_{Atimes B}times df_{Atimes B}}{F_{Atimes B}times df_{Atimes B}+df_E}=dfrac{19.350times2}{19.350times 2+24}=0.617
根据公式1.7，1.8，进一步计算出各效应的非中心参数
lambda_A=Ntimes dfrac{eta_{(A)}^2}{1-eta_{(A)}^2}=30times dfrac{0.264}{1-0.264}=10.761
lambda_B=Ntimes dfrac{eta_{(B)}^2}{1-eta_{(B)}^2}=30times dfrac{0.332}{1-0.332}=14.910
lambda_{Atimes B}=Ntimes dfrac{eta_{({Atimes B})}^2}{1-eta_{({Atimes B})}^2}=30times dfrac{0.617}{1-0.617}=48.329
接下来，计算非中心分布中，F临界值对应的概率，即为beta值。
> pf(4.260,1,24,ncp = 10.761)[1] 0.1177001> pf(3.403,2,24,ncp = 14.910)[1] 0.08957654> pf(3.403,2,24,ncp = 48.329)[1] 1.500473e-05 1-beta就得到了power
3. 实验开始之前：推算样本量
根据1.9式，要推算样本量，需要知道非中心参数lambda和效应量f,eta ^2或hatomega^2 （三个效应量可以互相推导）。
其中效应量可以通过以往的研究，或者自己实施的预实验结果来估计。利用F值可以根据1.5式计算出eta ^2，进而1.8式计算出f^2。
非中心参数的估计就要复杂得多。可以通过查表（现在基本不用了）或者G*POWER计算。非中心参数可以通过以下因素进行计算：
显著性水平alpha：一般使用确定的0.05
统计检验力1-beta：研究者自己设定
效应量：通过以往研究进行估计
分子的自由度：实验设计时确定（自变量有几个水平自己肯定清楚）
实验处理的数量：实验设计时确定
实际上，alpha,beta以及效应量都与N有关，因为N影响了自由度，从而影响了F分布的形态，只有这三个值都确定以后，才能确定非中分参数。
数据实例
将之前的例子作为一个预实验，可以看到A因素的Power为1-beta=1-0.118=0.882，如果我想要将A因素的Power提升到0.95，正式实验中需要多少样本量呢?此时
alpha=0.05
1-beta=0.95
效应量f=sqrt{dfrac{eta_{(A)}^2}{1-eta_{(A)}^2}}=0.599
df_A=1
一共6个处理
在G*Power中，将已知数据输入，直接就可以得到结果，如图：
可见，此时需要的样本量为39，但由于一共有6个处理，为了保证等组设计，需要总样本量为6的倍数。实际研究中，一共需要42人，每组7人。
小结
方差分析效应量中最常用的是偏eta^2
实验前推断样本量需要自定义alpha和beta，并根据以往研究得到效应量
实验后需要根据非中心参数估计Power
