简短又有趣的数学知识【精选】

2023-04-03 08:43:00 来源 : haohaofanwen.com 投稿人 : admin

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数学好玩论文

数学里的 e 为什么叫做自然底数?是不是自然界里什么东西恰好是 e?飞蛾扑火跟数学里的对数螺线有关系?

此篇内容很长,建议先藏再看,我先说结论:

历史上,「自然」是一种划时代的思维方法,自然还有和谐、完美的内涵

随着利息、对数、指数的发明,人们发现了 e 的存在

1 元存 1 年,在年利率 100% 下,无穷次的利滚利就会达到 e

e 和π一样都是内在规律,反映了指数增长的自然属性

大自然中到处都有对数螺线 eθ的身影

其他底数都是发明出来方便人使用,只有 e 为底数是被发现的

数学家发现以 e 为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式

好的,让我们正式开始。

e 有时被称为自然常数(Natural constant),是一个约等于 2.71828182845904523536……的无理数。

以 e 为底的对数称为自然对数(Natural logarithm),数学中使用自然(Natural)这个词的还有自然数(Natural number)。这里的「自然」并不是现代人所习惯的「大自然」,而是有点「天然存在,非人为」的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品,天然食品就是未经人为处理的食品。

但这样解读「自然」这个词太浅薄了!为了还原全貌,必须穿越到 2500 多年前的古希腊时代。

「自然」的发明

我们知道,人类历史上曾出现过很多辉煌的文明,例如大家熟知的四大文明:古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。

但是要说谁对现代文明的影响最大?对不起,四大文明谁都排不上!真正对现代文明影响最大的是古希腊文明,特别是古希腊的哲学、科学思想,是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明,现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产,只是相比古希腊要少很多。

现代人的基础教育,无论是什么国家、什么社会制度、什么民族,在教科书里除了介绍自己的古代成就外(如四大发明),还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想,来启蒙学生的心智,这是跨越国界的共同做法。

大家都这样做的原因,就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和「自然」(Natural)这个词,在理论中用自然来取代具体的神灵,这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明,现代文明可能还会晚出现数千年,所以这是至关重要的进步。

在古希腊文明之外的古文明里,人们解释世间万物的运行时,总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如,得病了就认为鬼神附体,洪水泛滥就认为天神发怒,石人一出天下就可以造反了,总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释,拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点,最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数,也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事,例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样,不同的是我们知道这是假的,古人则认为是真的,这成为他们理解世界运行的思维定势。

直到公元前 624 年,泰勒斯的出现,才第一次用自然取代神灵的位置。

泰勒斯被称为「科学和哲学之祖」、「科学之父」、「哲学史上第一人」!(还有比这更牛的称号吗?)

其实泰勒斯是个多神论者,他认为神是存在的,是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行,不能靠凭空的制造故事,要靠坚实的证据来发现这些规律,并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献,开创了一套认识世界的全新思维方法,他关注的是证据、规律、理性,而不是神。

尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样,把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理,旧理论可以被修改或推翻,更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、可进化的理论体系。相反,宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系,例如你只能解读圣经,但不能否定圣经。

后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论,建立了「自然」(φύσις)的概念,「自然」代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了逻各斯(希腊语:λόγος,英语:Logos)的观点,用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等,这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸,即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用 Logos 和 arithmos(算法)创造了单词 Logarithm 来命名对数法,经过后人简化变成了对数符号 log。

「自然」与美

古希腊的学者还给「自然」赋予美的含义,他们认为规律性就是一种和谐感,数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。毕达哥拉斯就是其中最极端的代表,他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度,美像神一样不可冒犯,毕达哥拉斯主义走向了科学的反面,成了宗教。

毕达哥拉斯主义者庆祝日出

这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘「自然」之美,并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系,最有名的是毕达哥拉斯定理(中国叫勾股定理)。毕达哥拉斯认为所有图形中,圆是最对称的,所以圆是最完美的图形。

「自然」思想的意义

雷军说得好,「在风口上,猪都会飞!」就像乔布斯开启了移动互联网时代,泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。

古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代,原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星:赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等,都因为得益于这套思维方法,发现了大量的自然规律,成为各学科领域里开天辟地的先贤。

古希腊人还把自然的概念引入社会领域,来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷,认为在所有赚钱方法中,利息是最不自然的。

以自然作为基础,会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。

例如:

英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定,人的脚长差异太大,历史上英尺发生过很多次变化,不稳定,这是不自然的。

而海里的长度则接近自然,如下图,海里是根据地球周长计算的,是 1 角分的长度,变化就极小。

对比之下,宗教等理论体系的基石并不是自然的,靠的是强制手段来确立的权威,这是不稳定的。当强制手段不再有效时,就会使宗教分裂成各种教派。

自然思想不同于宗教,靠的是坚实的观察证据和理性思维,任何人都可以反复验证,具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性,古希腊思想被越来越多的人所接受,对后人产生了巨大的影响,几乎奠定了现代所有科学领域的基础。

经过 2500 多年的不懈努力,终于在古希腊文明所铺就的最稳固基石上,人类建立起了现代文明的宏伟大厦。

自然数中的「自然」

古希腊认为像 1、2、3 这样的数,是事物本身就有的属性,可以用来描述日常事物的数量和顺序,无需过多解释,就是 3 岁小孩也能快速理解,所以这些数被称为自然数(Natural number)。

但这种朴素的自然观限制了数的范围,无法解释 0,负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然,是人为了计算而发明出来的,不是自然的数。

毕达哥拉斯就非常厌恶无理数,无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯 Hippasus 就是因为发现了√2 并公布出去,居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了,这被称为数学史上的第一次数学危急。后人认为毕达哥拉斯也发现了黄金分割率,但因为也是无理数,所以一直秘而不宣。

现代我们知道,没有受过基础数学教育的人要想理解这些数,不仅需要了解更复杂的概念模型,还要熟悉加、减、乘、除等运算方法,只有这样才能完全明白。而更复杂的数,例如无理数、代数数和超越数,也需要了解更复杂的运算。

我们的主角 e,就是超越数,既然理解 e 的含义需要理解相关的运算,而这些运算最早都和利息有关,所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越 4000 年,穿越到 7000 年前的苏美尔文明时代。


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