简短又有趣的数学知识【精选】

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数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？飞蛾扑火跟数学里的对数螺线有关系？

此篇内容很长，建议先藏再看，我先说结论：

历史上，「自然」是一种划时代的思维方法，自然还有和谐、完美的内涵

随着利息、对数、指数的发明，人们发现了 e 的存在

1 元存 1 年，在年利率 100% 下，无穷次的利滚利就会达到 e

e 和π一样都是内在规律，反映了指数增长的自然属性

大自然中到处都有对数螺线 eθ的身影

其他底数都是发明出来方便人使用，只有 e 为底数是被发现的

数学家发现以 e 为底数的对数是计算中最简、最美、最自然的形式

好的，让我们正式开始。

e 有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等于 2.71828182845904523536……的无理数。

以 e 为底的对数称为自然对数（Natural logarithm），数学中使用自然（Natural）这个词的还有自然数（Natural number）。这里的「自然」并不是现代人所习惯的「大自然」，而是有点「天然存在，非人为」的意思。就像我们把食品分为天然食品和加工食品，天然食品就是未经人为处理的食品。

但这样解读「自然」这个词太浅薄了！为了还原全貌，必须穿越到 2500 多年前的古希腊时代。

「自然」的发明

我们知道，人类历史上曾出现过很多辉煌的文明，例如大家熟知的四大文明：古巴比伦、古埃及、古印度河以及古代中国。

但是要说谁对现代文明的影响最大？对不起，四大文明谁都排不上！真正对现代文明影响最大的是古希腊文明，特别是古希腊的哲学、科学思想，是整个现代文明的源头和基石。这里并不是要贬低四大文明，现代文明也从各文明继承了大量的文化遗产，只是相比古希腊要少很多。

现代人的基础教育，无论是什么国家、什么社会制度、什么民族，在教科书里除了介绍自己的古代成就外（如四大发明），还会大篇幅的介绍古希腊的科学、哲学思想，来启蒙学生的心智，这是跨越国界的共同做法。

大家都这样做的原因，就是因为古希腊哲学家发明了科学的思维方法和「自然」（Natural）这个词，在理论中用自然来取代具体的神灵，这是人类文明史上划时代的发明。如果没有这个发明，现代文明可能还会晚出现数千年，所以这是至关重要的进步。

在古希腊文明之外的古文明里，人们解释世间万物的运行时，总是要引入神灵等超自然、拟人化的因素。例如，得病了就认为鬼神附体，洪水泛滥就认为天神发怒，石人一出天下就可以造反了，总有一个超自然的神灵在操纵万物的运行。人们偏爱形象而戏剧化的解释，拟人化的神灵恰恰具有形象、戏剧化的特点，最易于接受和传播。现代喜欢希腊神话的人数，也远多于喜欢希腊哲学的。电视里最流行各种奇幻故事，例如狼人、吸血鬼什么的。古代人也一样，不同的是我们知道这是假的，古人则认为是真的，这成为他们理解世界运行的思维定势。

直到公元前 624 年，泰勒斯的出现，才第一次用自然取代神灵的位置。

泰勒斯被称为「科学和哲学之祖」、「科学之父」、「哲学史上第一人」！（还有比这更牛的称号吗？）

其实泰勒斯是个多神论者，他认为神是存在的，是神让万物有了自己内在的规律。但解释万物的运行，不能靠凭空的制造故事，要靠坚实的证据来发现这些规律，并用理性的方法解读。这就是泰勒斯的最大贡献，开创了一套认识世界的全新思维方法，他关注的是证据、规律、理性，而不是神。

尽管泰勒斯提出的理论现在看起来很粗糙。但是人们不再需要像宗教一样，把旧理论看成是不可否定的权威结论。只要有坚实的新证据和理性的推理，旧理论可以被修改或推翻，更好的理论就可以建立起来。这是一种可靠的、可进化的理论体系。相反，宗教是停止进化的、只能膨胀的理论体系，例如你只能解读圣经，但不能否定圣经。

后来的希腊哲学家不断借鉴和发展泰勒斯的理论，建立了「自然」(φύσις)的概念，「自然」代表万物因为本源而发生自然而然的变化。赫拉克利特还引入了逻各斯（希腊语：λόγος，英语：Logos）的观点，用以说明万物变化的规律性。逻各斯原来是指语言、演说、交谈、故事、原则等，这里的逻各斯则主要指一种尺度、大小、分寸，即数量上的比例关系。后来对数的发明人纳皮尔就用 Logos 和 arithmos（算法）创造了单词 Logarithm 来命名对数法，经过后人简化变成了对数符号 log。

「自然」与美

古希腊的学者还给「自然」赋予美的含义，他们认为规律性就是一种和谐感，数学的比例是种超越肉体感官、只能靠心智才能领悟到的美。毕达哥拉斯就是其中最极端的代表，他对数学美的狂热追求超过了偏执的程度，美像神一样不可冒犯，毕达哥拉斯主义走向了科学的反面，成了宗教。

毕达哥拉斯主义者庆祝日出

这种宗教的狂热驱动他和信徒们不断的去挖掘「自然」之美，并在数学之外的音乐、建筑、雕刻、绘画等领域发现了大量的比例关系，最有名的是毕达哥拉斯定理（中国叫勾股定理）。毕达哥拉斯认为所有图形中，圆是最对称的，所以圆是最完美的图形。

「自然」思想的意义

雷军说得好，「在风口上，猪都会飞！」就像乔布斯开启了移动互联网时代，泰勒斯则开启了古希腊哲学时代。

古希腊时代是一个科学、哲学大爆炸的时代，原本黑暗的天空中突然爆发出无数的新星：赫拉克利特、毕达哥拉斯、德谟克利特、苏格拉底、柏拉图、亚里士多德、阿基米德、欧几里得、希波克拉底等等，都因为得益于这套思维方法，发现了大量的自然规律，成为各学科领域里开天辟地的先贤。

古希腊人还把自然的概念引入社会领域，来分析社会中的现象和规律。例如亚里士多德就曾经激烈的抨击借贷，认为在所有赚钱方法中，利息是最不自然的。

以自然作为基础，会比人为强制规定作为基础更稳定和可靠。

例如：

英尺(foot)的长度就是根据人的脚长来人为规定，人的脚长差异太大，历史上英尺发生过很多次变化，不稳定，这是不自然的。

而海里的长度则接近自然，如下图，海里是根据地球周长计算的，是 1 角分的长度，变化就极小。

对比之下，宗教等理论体系的基石并不是自然的，靠的是强制手段来确立的权威，这是不稳定的。当强制手段不再有效时，就会使宗教分裂成各种教派。

自然思想不同于宗教，靠的是坚实的观察证据和理性思维，任何人都可以反复验证，具有可证伪性。这样打下的基础就非常的稳固。正是这种稳定性和可靠性，古希腊思想被越来越多的人所接受，对后人产生了巨大的影响，几乎奠定了现代所有科学领域的基础。

经过 2500 多年的不懈努力，终于在古希腊文明所铺就的最稳固基石上，人类建立起了现代文明的宏伟大厦。

自然数中的「自然」

古希腊认为像 1、2、3 这样的数，是事物本身就有的属性，可以用来描述日常事物的数量和顺序，无需过多解释，就是 3 岁小孩也能快速理解，所以这些数被称为自然数（Natural number）。

但这种朴素的自然观限制了数的范围，无法解释 0，负数、分数、小数等数。古希腊人认为这些数并不自然，是人为了计算而发明出来的，不是自然的数。

毕达哥拉斯就非常厌恶无理数，无理数的不规律破坏了和谐美。他的门生希帕索斯 Hippasus 就是因为发现了√2 并公布出去，居然被毕达哥拉斯以渎神的罪名被淹死了，这被称为数学史上的第一次数学危急。后人认为毕达哥拉斯也发现了黄金分割率，但因为也是无理数，所以一直秘而不宣。

现代我们知道，没有受过基础数学教育的人要想理解这些数，不仅需要了解更复杂的概念模型，还要熟悉加、减、乘、除等运算方法，只有这样才能完全明白。而更复杂的数，例如无理数、代数数和超越数，也需要了解更复杂的运算。

我们的主角 e，就是超越数，既然理解 e 的含义需要理解相关的运算，而这些运算最早都和利息有关，所以我们继续穿越。从古希腊再往回穿越 4000 年，穿越到 7000 年前的苏美尔文明时代。