找次品的论文(“找次品”教学的实践与思考)

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“找次品”问题是数学中一类经典的智力问题。本节课是在学习方程（认识天平），理解了“平衡”和等式相等的“等量代换”基础上进行教学的。教材在分析方法的编排上很重视“数学化”，将思维过程采用画图方式外显。同时，解决问题的策略研究学生已经不是第一次接触，此前学生接触过“沏茶”、“田忌赛马”、“打电话”等问题，在这几节课的学习中，对简单的优化思想方法，通过画图的方式（比如“沏茶问题”画流程图）发现事物隐含的规律等都有所渗透，学生已经具有一定的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力。所以，教学中，一是要抓住问题的本质，要使待测物体称量的次数最少，尽可能平均分成3份，天平称一次就能确定出次品在三个位置中的哪一个。问题被转化成“从总数的三分之一（左右）”找次品。让学生感受解决问题策略的多样性和优化思想。二是要注重让学生经历探索与发现的过程，引导学生学习用符号、文字直观、简洁地表示思维过程，有意识地培养逻辑思维能力。

（一）弄清题意，激发学生探究愿望

1.弄清题意

师：假如有81瓶钙，其中有1瓶比较轻（次品），如果只能利用没有砝码的天平来断定哪一瓶是次品，最少要称几次确保找到较轻的那一瓶？

猜一猜、说一说，至少需要称多少次确保找到次品？

小结：学生经历一瓶一瓶、两瓶两瓶的称…，学生想：“在天平的两边各放40瓶，平衡，没称的那一瓶就是次品”。1次虽少，但只是有可能，不能确保找到次品。所以不光要最少，还要以“保证能找到”为前提来理解问题。

生：把80分成（40，40 ），再把40分成（20，20）→20（10，10）→10（5，5）→2（1，1），一共要称6次。

2.对比，一共称6次的方法优越在哪？

小结：把待测物体平均分成两份，每称一次，次品范围就缩小了一半，运用排除法逐步锁定次品。

【思考：根据学生的经验，用对半排除法逐步调动他们的探究兴趣，为后面的教学做好铺垫，使学生进入最佳的学习状态。】

（二）简化问题，经历问题解决基本过程

从81瓶中找次品问题比较复杂，现在从最简单的3瓶钙开始研究次品，最少要称几次确保找到次品？

1.随意拿两瓶钙放在天平上，会出现几种可能？

2.小结：在天平两边各放1个球，如果天平平衡，说明天平两边一样重，剩下的球就是次品；如果不平衡，那翘起来的一端就是次品。

【思考：根据学生的已有经验作为学习的研起点，降低了思考的难度。学生容易悟出找次品的基本原理。这个基本原理正是本节课活动的逻辑认知基础。】

（三）借助“关键数目”， 构建基本数学模型

1. 探究8瓶钙的情况。

提出问题：有8瓶钙，最少要称几次确保找到次品？

（1) 合作建议：可以借用打印的（钙片）图片帮助思考，也可以像老师这样在纸上画一画，不论用什么样的方式，都要将思考过程简要记录下来。

（2) 小组讨论、汇报。

生1 : 先将在天平的两侧，每边各4瓶。如果左边轻，就将这瓶再分成2组放在两边，再找出较轻的那一组，再放到天平的两侧，每边放1瓶，至少需要称3次。

生2 : 我们用了2次。天平两边先各放3瓶，剩下2瓶。最好的情况，天平平衡了，将剩下的2瓶再称，这样用2次；如果不平衡，就将轻的那一边的3个再称，挑出其中的2个放到天平上，另一个放一边，如果平衡，天平外的就是次品，如果不平衡，轻的小球就是次品，所以只需2次。

2. 探究9瓶钙的情况。

师：9个比8个多了1个，怎样分组称，最少称几次确？

小组讨论：9: (4,4,1)3次；（3,3,3)2次。

【思考：为了满足学生的好奇心，让学生亲自动手称一称、找一找，探究用天平”找次品＂的方法，把学习的主动权交给学生，让学生在动手操作、相互交流的过程中感知方法的多样性。】

3. 对比总结、归纳分组规律

师：8分成（3, 3, 2) 三组称2次，分成（4, 4) 两组却称了3次，多称了1次。多称的1次多在哪儿呢？

生1:把8分成（3, 3, 2) 每组是3瓶或2瓶，称一次就能确定其中的一组有次品，再把3瓶或2瓶都只需称1次就能找出次品。

教师：对比，9瓶都分为三组，为什么称的次数不同？

生：（4，4，1），第一次只能称（4，4），最多只能排除5瓶，剩下4瓶还需要称两次；第二种分组称一次能排除两组（6瓶正品），剩下3瓶只需要称一次。

师：大家最后称的次数不同，原因是什么呢？

生2: 分组的组数不同，每组的数量也不同。

师：那到底怎么分，才能既保证找到次品，又能使称的次数尽可能少呢？小组讨论一下！

生3: 我觉得应该分3组。因为天平有2个托盘，在天平两边各放1份，剩下的就是第3份。如果天平平衡，那么次品肯定在旁边的一份里；如果天平不平衡，那么次品肯定在轻的那份中。

生4: 每组的数目尽可能的比较接近，这样每次称完，次品就被确定在更小的范围内了，称的次数也就少了。

小结：平均分的组越多，称的次数就会增加。当待测物体平均分成两组时，每称一次只能排除二分之一的正品，而平均分成三组时，可以排除三分之二的正品，所以每称一次保证能锁定范围的最小值是待测物品的三分之一左右。

【思考：充分发挥学生的主体性，通过对比，自悟找次品的最优方案，使求知成为学生自觉的追求，培养了学生的解决问题的能力。】

（四）运用策略，领悟优化思想的真谛

在前期研究的基础上，引导学生探究从11、81、243、729瓶钙中“找次品”的方法，并能记录自己的思考过程，使学生进一步体会：把物品尽量平均分成3份，也就是最多的份数与最少的份数的个数只差1个。使学生比较全面地感知找次品这类问题的基本解决手段和方法，充分感受到模型的无限魅力。

【思考：对于“每次称量时，都把含有次品的零件尽量平均分成三份”的最优方案，学生显然无法给出严格的证明。但学生在不断的探索活动中，积累丰富的活动经验，知道对于不同个数的零件，要用最少的次数找出次品，其实是有一般性规律可循的。】

这样的教学流程，立足学生的认知起点, 牢牢把握住了“找次品”解决方法的两个实质———最不利设想和平均分方法, 在关键处引发孩子们的思考、讨论、交流。孩子们在这样无形的思维引导中尝试了推理的乐趣, 并真正体验了解决问题方法的优化过程, 整堂课的教学可谓水到渠成。