基本不等式论文的摘要 基本不等式的证明、意义、应用
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一.基本不等式的证明
1.几何方法
1）背景
赵爽弦图
赵爽是东汉末年至三国时期的数学家，约公元222年，他深入研究了《周髀算经》并详细解释了其中关于勾股定理的部分，又给出了新的证明，证明过程可以具象化为上面的赵爽弦图。
正方形ABCD由四个全等的直角三角形围绕而成，短直角边记为a，长直角边记为b，斜边记为c。
正方形的面积=4个直角三角形的面积+中间小正方形的面积
用等式表达为：c^{2}=4timesfrac{ab}{2}+(b-a)^{2}
将公式右侧展开整理化简，即可得到 c^{2}=a^{2}+b^{2}
2）通过赵爽弦图继续证明基本不等式成立
继续观察用于表示大正方形面积的等式：
S=c^{2}=4timesfrac{ab}{2}+(b-a)^{2}=2ab+(b-a)^{2} ①
S=c^{2}=a^{2}+b^{2} ②
①②相等： a^{2}+b^{2}=2ab+(b-a)^{2} ，其中 (b-a)^{2}geq0 ，
故 a^{2}+b^{2}geq2ab 。
(b-a)^{2} 表示中间边长为b-a的小正方形的面积，当小正方形被挤压到面积为0时，即b=a时， a^{2}+b^{2}=2ab 。
可将a替换为 sqrt{a} ，b替换为 sqrt{b} ，得到a+b≥2 sqrt{ab} ，当且仅当a=b时，等号成立（a>0，b>0）。
2.代数方法
欲比较 a^{2}+b^{2} 与2ab的大小关系，作差可得 a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}geq0 ，
故 a^{2}+b^{2}geq2ab 。
同上替换，得到a+b≥2 sqrt{ab} ，当且仅当a=b时，等号成立（a>0，b>0）。
二.基本不等式的意义
1.几何意义
| 半径不小于半弦 |
|---|
半径不小于半弦
上图既可以作为均值不等式的几何意义来理解，也可以作为另一个角度的证明方式。
① 图形说明：在圆O的直径上任取一点D，D到直径两端的距离分别记为BD=a，CD=b，过点D做垂线交圆于点A。
② 用a、b表示任意半弦AD：通过AA相似原理，可知△ABD sim △CAD，故 frac{AD}{BD}=frac{CD}{AD} ，
所以 AD^{2}=BD·CD=ab ，
所以AD= sqrt{ab} 。
③ 用a、b表示半径EO：半径EO= frac{a+b}{2} 。
④ 想象点D从点B沿着直径向点C滑动的过程，可知仅当点A与点E重合时，半弦AD=半径EO，此时点D亦与圆心O重合，BD=CD即a=b，其余情况下，半弦AD＜半径EO。
即 sqrt{ab}leqfrac{a+b}{2} ，当且仅当a=b时，等号成立。
2.统计意义
| 算术平均数不小于几何平均数 |
|---|
算数平均数： frac{a+b}{2}
几何平均数： sqrt{ab}
三.基本不等式的应用思想
基本不等式通过“和化积”的思想，经常用于求最值问题。
在为变形不等式求解最值时，通常蕴含的思想有：
1.配凑
2x+frac{1}{x+3}=2(x+3)+frac{1}{x+3}-6geq2sqrt{2}-6 ，
当且仅当 2(x+3)=frac{1}{x+3} 时，等号成立。
2.换元
令t=x-1，则 frac{x-1}{x^{2}-2x+5}=frac{t}{t^{2}+4}=frac{1}{t+frac{4}{t}}leqfrac{1}{4} ，
当且仅当 t=frac{4}{t} 时，等号成立。
3.拆分
frac{3x^{2}+3xy+2y^{2}}{6xy}=frac{x}{2y}+frac{1}{2}+frac{y}{3x}geq2sqrt{frac{x}{2y}cdotfrac{{y}}{3x}}+frac{1}{2}=frac{sqrt{6}}{3}+frac{1}{2} ，
当且仅当 frac{x}{2y}=frac{{y}}{3x} 时，等号成立。
4.和为定值
sqrt{x^{2}(3-x^{2})}leqfrac{x^{2}+(3-x^{2})}{2}=frac{3}{2} ，
当且仅当 x^{2}=3-x^{2} 时，等号成立。
5.等价代换
如果x>0，y>0，且2x+y=1，则 frac{1}{x}+frac{1}{y}=(frac{1}{x}+frac{1}{y})(2x+y)=2+frac{y}{x}+frac{2x}{y}+1geq2sqrt{2}+3 ，
当且仅当 frac{y}{x}=frac{2x}{y} 时，等号成立。
6.齐次化
如果x+y+z=1，则 frac{1-z}{xy}+frac{1}{z}=frac{（x+y+z)^{2}-z(x+y+z)}{xy}+frac{x+y+z}{z}=frac{x}{y}+frac{y}{x}+frac{z}{y}+frac{z}{x}+frac{x}{z}+frac{y}{z}+3geq2+2+2+3=9 ，当且仅当 frac{x}{y}=frac{y}{x}，frac{z}{y}=frac{y}{z}，frac{z}{x}=frac{x}{z} 时，等号成立。
