欧拉公式及其相关公式(欧拉公式的意义 )
下面是好好范文网小编收集整理的欧拉公式及其相关公式(欧拉公式的意义 )，仅供参考，欢迎大家阅读！
欧拉公式被称为“上帝创造的公式”，它也令人着迷！推动了数学界和物理界的发展。它简洁而美妙！
它也有多种方法可以证明！本篇文章用非常直接的方法证明欧拉公式（并不需要级数理论），高中生都可以看懂！
第一种方法是用循序渐近的方法，并予以解释，以便让读者明白变化细节；第二种方法是用非常简洁的方法直接推导出来，最后证明指数为虚数的指数函数的极限定义式的良性。本篇文章我们通过10个章节来直观、严谨、简洁地证明欧拉公式，建议收藏反复阅读~
欧拉简介
欧拉公式简介
自然底数 mathbb{e} 的定义
mathbb{e}^{x} 的极限定义式在非负实数上的延拓
mathbb{e}^{x} 的极限定义式在实数域上的延拓
mathbb{e}^{x} 的极限定义式在复数域上的延拓以及欧拉公式的导出
极限有复平面上的运动过程及解释
欧拉公式推导过程的进一步简化
mathbb{e}^{x} 的极限定义式的良性验证
哲理的讨论
1. 欧拉简介
欧拉——为数学而生！
欧拉
9岁，看完牛顿的《自然哲学的数学原理》。13岁考入巴塞尔大学主修哲学和法律，还修了数学、神学、希伯来语以及希腊语。课余还研究音乐、物理、建筑等等。19岁就成功博士毕业，博士毕业论文写的物理论文。20岁参加巴黎科学院奖金的争夺，得了第二。接下来12年，建筑大赛的冠军都被欧拉拿了。27岁那年，他发明了一系列对人类影响深远的符号——圆周率的符号π、函数符号f(x)、以及三角学符号sin、cos、tg等。31岁，丧失了右眼视力。32岁出版了一部音乐理论著作，顺便发明了，空气动力学和流体动力学。59岁，双目失明，但欧拉强悍的心算能力弥补了这一点。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容。64岁的欧拉，带病而失明，被围困在大火中。虽然得救，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。于是只能重写。他大火之后整理出来的小部分成果共包括886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。
十八世纪，被成为欧拉世纪毫不过分。
2. 欧拉公式简介
欧拉公式是复分析领域的公式，它将三角函数与复指数函数关联起来，因其提出者莱昂哈德·欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数x ,
mathbb{e}^{mathbb{i}x}=cos x+mathbb{i}sin x
都成立，其中 mathbb{i} 是虚数单位， mathbb{e} 是自然对数的底数。由于我们很容易进一步推导出该公式在 x 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本
mathbb{e}^{mathbb{i}z}=cos z+mathbb{i}sin z
称为欧拉公式。欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。当 x=pi 时，欧拉公式变为
mathbb{e}^{mathbb{i}pi }+1=0
即欧拉恒等式。
欧拉
3. 自然底数 mathbb{e} 的定义
我们在回答中
已经论述过自然底数 mathbb{e} 的导出有多自然，当然历史上是怎么导出的我不知道，但是本人最先悟出它的定义通过研究对数函数得出的。它的定义是
mathbb{e}=limlimits_{nrightarrow +infty}(1+frac{1}{n})^{n}
并且我们在那里也证明了它的收敛性。
4. mathbb{e}^{x} 的极限定义式在非负实数上的延拓
对于任意的 xgeq 0 , 我们有
limlimits_{nrightarrow +infty}(1+frac{x}{n})^{n} =limlimits_{nrightarrow +infty}(1+frac{x}{n})^{frac{n}{x}x}
令
N=frac{n}{x} ,
则
limlimits_{nrightarrow +infty}(1+frac{x}{n})^{frac{n}{x}x} =limlimits_{Nrightarrow +infty}(1+frac{1}{N})^{Nx}=mathbb{e}^{x}
因此我们可以非常自然且合理地在正数范围内将 mathbb{e}^{x} 定义为
mathbb{e}^{x}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{n}
当 x=0 时，这个定义显然也是合理的。这说明我们可以在非负实数范围内定义 mathbb{e}^{x} 的极限定义式。
5. mathbb{e}^{x} 的极限定义式在实数域上的延拓
当 x geq 0 时，我们已经给出了 mathbb{e}^{x} 的极限定义式，但是当 x<0 时，我们尚未给出。下面我们来研究一下 x<0 的情况。当 x<0 时
令
则
这说明该极限定义式
mathbb{e}^{x}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{n}
可以非常合理地延拓到整个实数域上。
6. mathbb{e}^{x} 的极限定义式在复数域上的延拓以及欧拉公式的导出
我们已经将 mathbb{e}^{x} 的极限定义式
mathbb{e}^{x}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{n}
合理地延拓到了整个实数域上。下面我们在整个复数域上定义
mathbb{e}^{z}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{z}{n})^{n}
现在我们来推导它的极限结果是什么。我们来考察下面的极限
P(k)=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{z}{n})^{k}= limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n}+mathbb{i}frac{y}{n})^{k}
P(1)=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{z}{n})= limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n}+mathbb{i}frac{y}{n})
它的模长是
l_{1}=sqrt{limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{2}+(frac{y}{n})^{2}} = limlimits_{nrightarrow+infty}1+frac{x}{n}+o(frac{1}{n})
它的辐角
theta_{1} = limlimits_{nrightarrow+infty}frac{Im(P(1))}{l_{1}} = limlimits_{nrightarrow+infty}arcsinfrac{frac{y}{n}}{l_{1}} =frac{y}{n}+o(frac{1}{n})
以上计算步骤均省略了二阶小量，在精确到一阶小量时，我们有
lim_{trightarrow0}arcsin t=lim_{trightarrow0}sin t=lim_{trightarrow0}t\ lim_{trightarrow 0}frac{1}{1+t}=limlimits_{trightarrow 0}(1-t)\ limlimits_{trightarrow 0}sqrt{1+t^{2}}=1
或许有人说这需要用到罗毕达法则或泰勒展开，其实不然，这些东西我们直接用作图的方法就可以直接到得结论，希望读者能做到形不离数，数不离形。下文也是同样省略了高阶小量。
limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{z}{n})^{2}= limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n}+mathbb{i}frac{y}{n})^{2}
l_{2}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{2}+(frac{y}{n})^{2} = limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{2}+o(frac{1}{n})
它的辐角
theta_{2} = limlimits_{nrightarrow+infty}frac{Im(P(2))}{l_{2}} = limlimits_{nrightarrow+infty}arcsinfrac{2(1+frac{x}{n})frac{y}{n}}{l_{2}} =frac{2y}{n}+o(frac{1}{n})
到了这一步，我们自然地会想到用数学归纳法继续递推下去。假定对于 P(k)
l_{k}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{k}+o(frac{1}{n})\ theta_{k} = limlimits_{nrightarrow+infty}arcsinfrac{2(1+frac{x}{n})frac{y}{n}}{l_{k}} =frac{ky}{n}+o(frac{1}{n})
成立，则对于 P(k+1)
l_{k+1}=[limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{k}+o(frac{1}{n})]^{frac{k+1}{k}}= limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{k+1}+o(frac{1}{n})\ theta_{k+1}=theta_{k}+theta_{1}=(k+1)frac{y}{n}+o(frac{1}{n})
因此当 k=n 时，自然有
mathbb{e}^{z}=P(n)=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{z}{n})^{n}
的模长为
limlimits_{nrightarrow+infty}l_{n}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{x}{n})^{n}=mathbb{e}^{x}
辐角为
theta_{n}=Im(z)
因此有
mathbb{e}^{z}=mathbb{e}^{x}(cos y+mathbb{i}sin y)
另一方面为了保持指数函数的良性定义有
mathbb{e}^{z}=mathbb{e}^{x+mathbb{i}y}=mathbb{e}^{x}mathbb{e}^{mathbb{i}y}
综合以上两式可得对做任意的实数 theta
mathbb{e}^{mathbb{i}theta}=costheta+mathbb{i}sintheta
这便是著名的欧拉公式。
7. 极限有复平面上的运动过程及解释
在上述求极限的过程中，我们会发现因子中每多出一个
1+frac{x}{n}+mathbb{i}frac{y}{n}
最终结果在复平面上的辐角都会增加 frac{y}{n} , 也就是在复平面上逆时针旋转角度 frac{y}{n} , 同时该数距离原点的距离即模长变为原来的 1+frac{x}{n} . 对于 x=0 的特殊情况 mathbb{e}^{iy} ，就是模长不变，辐角每次增加 frac{theta}{n} , 即在复平面的单位圆上旋转，如下图所示。
8. 欧拉公式推导过程的进一步简化
第6小节之所以一步一步推导是为了方便让读者尽可能多地理解细节，即每一步模长和辐角的变化。其实我们可以更加直接地算出结果，过程不必那么长。当我们有了定义
mathbb{e}^{z}=limlimits_{nrightarrow+infty}(1+frac{z}{n})^{n}
以后，我们知道
|1+frac{z}{n}|=sqrt{(1+frac{x}{n})^{2}+(frac{y}{n})^{2}}
则
|mathbb{e}^{z}|=limlimits_{nrightarrow+infty}[(1+frac{x}{n})^{2}+(frac{y}{n})^{2}]^{frac{n}{2}} =limlimits_{nrightarrow+infty}[(1+frac{2x}{n}+(frac{x}{n})^{2}+(frac{y}{n})^{2}]^{frac{n}{2}}\ =limlimits_{nrightarrow+infty}[(1+frac{2x+frac{x^{2}}{n}+frac{y^{2}}{n}}{n}]^{frac{n}{2x+frac{x^{2}}{n}+frac{y^{2}}{n}}frac{2x+frac{x^{2}}{n}+frac{y^{2}}{n}}{2}}=limlimits_{nrightarrow+infty}mathbb{e}^{x+frac{x^{2}}{2n}+frac{y^{2}}{2n}}=mathbb{e}^{x}
而 1+frac{z}{n}
arg(1+frac{z}{n})=arctanfrac{frac{y}{n}}{1+frac{x}{n}} ,
因此
arg(mathbb{e}^{z})=limlimits_{nrightarrow+infty}(narctanfrac{frac{y}{n}}{1+frac{x}{n}}) =limlimits_{nrightarrow+infty}frac{nfrac{y}{n}}{1+frac{x}{n}}=y
因此
mathbb{e}^{z}=mathbb{e}^{x}(cos y+mathbb{i}cos y)=mathbb{e}^{x}mathbb{e}^{mathbb{i}y}
我们也同样导出了欧拉公式。
9. mathbb{e}^{z} 的极限定义式的良性验证
下面我们来证明当我们定义了
mathbb{e}^{mathbb{i}theta}=costheta+mathbb{i}sintheta
以后，对做任意的复数
z_{1}=x_{1}+y_{1}, \ z_{2}=x_{2}+y_{2}
我们来证明 mathbb{e}^{x} 的定义在整个复数域上良性的，即
mathbb{e}^{z_{1}}mathbb{e}^{z_{2}} =mathbb{e}^{x_{1}+mathbb{i}y_{1}}mathbb{e}^{x_{2}+mathbb{i}y_{2}}\ =mathbb{e}^{x_{1}}(cos y_{1}+mathbb{i}sin y_{1})mathbb{e}^{x_{2}}(cos x_{2}+mathbb{i}sin y_{2})\ =mathbb{e}^{x_{1}+x_{2}}[cos(y_{1}+y_{2})+mathbb{i}sin(y_{1}+y_{2})]\ =mathbb{e}^{x_{1}+x_{2}}mathbb{e}^{mathbb{i}(y_{1}+y_{2})}=mathbb{e}^{z_{1}+z_{2}}
10. 哲理的讨论
记得高斯曾说：“如果不能一眼看出欧拉公式是显然成立的，这个人永远成不了一流数学家。”其实高斯的说法有它的道理，甚至我也说过：“真正在数学上有悟性的人几乎时时擅长透视一切事物的本质，这种透视不仅仅是对数学的透视。”
虽然高斯说得有些过于绝对和言过其实，但是看问题一眼看到本质确实是重要的。之所以说这种说法言过其实，是因为迷与悟的差别就在一瞬间。虽然悟需要很多先天条件甚至是后天积累，但是从迷到悟都是瞬间的事。有的人可能上厕所之前还没有悟，但是上厕所过程中突然就悟了。正如同顶级数学家真正擅长数学竞赛的也仅仅占51%，世间任何不可量化的客观事实都很难找到唯一标准，所以我说高斯的说法过于绝对。当然高斯之所以这样说，应该是来自他绝对的自信，因为高斯确实是天才之中的天才。
