2016年数学建模a题论文 2016年全国大学生数学建模竞赛A题系泊系统的设计详解

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1、要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度

2、钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差

3、为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

4、系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

5、近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。（注）

图 2-1 浮标的受力分析图

left{ begin{array}{c} left{ begin{array}{c} F_{text{浮}}=mg+T_1cos theta _1\ F_{text{风}}=T_1sin theta _1\ end{array} right.\ left{ begin{array}{c} F_{text{浮}}=rho pi left( frac{d}{2} right) ^2hg\ F_{text{风}}=0.625S_{text{风}}v_{text{风}}^{2}\ S_{text{风}}=left( H-h right) d\ end{array} right.\ end{array} right. \ (2-1)

从图2-1中对力分解可得公式(2-1)力学平衡方程，方程求解结果公式(2-2)

left{ begin{array}{c} theta _1=mathrm{arc}tan left( frac{F_{text{风}}}{F_{text{浮}}-mg} right)\ T_1=frac{F_{text{风}}}{sin theta _1}\ end{array} right. \ (2-2)

2.2 钢管1-4、钢桶及锚链的受力分析

图 2-2 钢管i的受力分析图

钢管的力学建模除了力的平衡外还要保证力矩的平衡，钢管的受力不是沿钢管方向，对于向量连接的两个钢管i-1和i，它们的连接点处的受力应该在一直线上，而两个钢管并不是在一直线上的，所以需要计算力的大小，力的角度以及钢管的角度。

受力平衡方程

left{ begin{array}{c} F_{text{水}}+T_isin theta _i=T_{i+1}sin theta _{i+1}\ T_icos theta _i=mg+T_{i+1}cos theta _{i+1}\ end{array} right. \ (2-3)

力矩平衡方程

left{ begin{array}{c} M^+=F_{text{浮}}frac{L}{2}sin varphi _i+T_{i+1}Lsin left( theta _{i+1}-varphi _i right)\ M^-=mgfrac{L}{2}sin varphi _i\ M^+=M^-\ end{array} right. \ (2-4)

最终解得

left{ begin{array}{c} theta _{i+1}=mathrm{arc}tan left( frac{T_isin theta _i}{F_{text{浮}i}+T_icos theta _i-m_ig} right)\ T_{i+1}=frac{T_isin theta _i}{sin theta _{i+1}}\ varphi _i=mathrm{arc}tan left( frac{T_isin theta _i}{T_icos theta _i+frac{1}{2}left( F_{text{浮}i}-m_ig right)} right)\ end{array} right. \ (2-5)

重物球挂在钢桶与锚链的连接点上，考虑到锚链很短，将重物球模型简化为锚链1的质量

图 2-3 锚链1的受力分析

锚链1的受力平衡方程

left{ begin{array}{c} T_6sin theta _6=T_7sin theta _7\ F_{text{浮}}+T_6cos theta _6=mg+Mg+T_7cos theta _7\ end{array} right. \ (2-6)

锚链1的力矩平衡方程

left{ begin{array}{c} M^+=F_{text{浮}}frac{L}{2}sin varphi _6+T_6cos theta _6Lsin varphi _6\ M^-=mgfrac{L}{2}sin varphi _6+F_{text{水}}frac{L}{2}cos varphi _6+T_2sin theta _6Lcos varphi _6+Mgfrac{L}{2}sin varphi _6\ M^+=M^-\ end{array} right. \ (2-7)

之后的锚链与钢管受力分析类同

在风速给定后，给定吃水深度h，可计算出浮标的受力，之后一节节锚链递推下去。

吃水深度h取决于最终水深H，吃水深度不同，导致钢管、钢桶和锚链角度不同，所有钢管、钢桶和锚链在竖直方向上投影之和不同，要保证投影之和与给定水深相同，在给定水深H的情况下，吃水深度h唯一确定，即

H=sum_{i=1}^n{L_icos varphi _i}\ (2-8)

最终问题就转化为确定吃水深度h，使得 e=left| sum_{i=1}^n{L_icos varphi _i}-H right| 最小的最优化问题。

三、程序详解

数学建模编程最好是模块化编程，这样的话不同问题之间嵌套起来就比较容易，只需要修改部分参数，而不需要一问一个程序，代码也显得简洁。

function1：锚链选型

function[L,dm]=mooring_choose(i

function2：风力计算

functionF=F_wind(S,v^

function3：浮力计算

functionF=F_float(Vrho_searho_sea

function4：浮标受力方程求解

function[T1,theta1]h,v_wind)%浮标的受力方程^F_floatF_windv_wind);%风力theta1theta1

function5：钢管、钢桶和锚链的受力方程求解

function[T2,theta2,phi1]T1,theta1,m,VF_floattheta2theta1theta1theta1theta2theta1theta1%钢管、钢桶和锚链的倾角end

function6：系泊系统的主函数

function[deep,r,x,y,phi]=mooring_system(h,v_wind,Mrho_Fe%锚链总长和密度mooring_choose%钢管、钢桶(钢球)和锚链的质量%钢管、钢桶的直径%钢管和钢桶的长度%钢管、钢桶和锚链的体积rho_Fe%钢管、钢桶和锚链的长度%钢管、钢桶和锚链的总数%每节锚链的受力及其角度v_wind);%浮标的受力计算%力学递推方程%判断锚链是否拖地%计算游走半径L=fliplrfliplrcumsumcumsum%计算各节点坐标end

在主函数中，如果风速过小，存在锚链拖地的情况，这时部分锚链的倾角可能会大于90度或者小于0度，此时需要停止循环。

function7：吃水深度的确定（随机搜索算法）

functionh=mooring_ca(H,v_wind,Mmooring_systemv_wind%如果最小值发生变化，就保存此次循环产生的吃水深度h值

function8：作图函数

function=mooring_plot(deep,phi,long,x,y,v_wind,h0figure%做出系泊系统linspace' v_{wind}=',num2str(v_wind&&'x_{0}'num2str%拖地计算拖地长度elsefai_endnum2str(fai_end%不拖地计算锚链与海底的夹角endfai_bucketlinspacenum2str(fai_bucketnum2strnum2strnum2str%水深、游走半径及吃水深度

3.1 问题一程序

v_windmooring_cav_wind%计算吃水深度figurexlabel('迭代次数')ylabel('吃水深度与投影深度的偏差最小值/m'mooring_systemv_wind%计算水深，游走半径，节点坐标，钢桶倾角mooring_plotv_wind

图 3-1 风速12m/s的结果（锚链拖地）图 3-2 风速12m/s的迭代图图 3-3 风速24m/s的结果

3.2 问题二程序

图 3-4 风速36m/s的结果（两个角度都不满足条件）

风速36m/s时，两个角度均不满足条件，需要增加重物球重量。

重物球的重量从1200kg开始增加，每次循环增加10kg，直到两个角度满足条件，跳出循环

v_windmooring_cav_windmooring_systemv_wind&&%判断是否满足条件mooring_plotv_windnum2str

图 3-5 重物球重量为3010kg时满足条件

讲解视频

【2016年全国大学生数学建模竞赛A题建模及程序详解-哔哩哔哩】 https://b23.tv/BTaw0Ff