函数的定义论文 应用幂级数理论研究函数

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摘要

幂级数具有可逐项微分和逐项积分等优良的运算性质，因此用幂级数表示函数，能给函数的研究和应用带来极大方便，正是基于这一想法本文用幂级数定义了指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和双曲函数等初等函数及两个非初等函数，并应用幂级数理论研究了这些函数的性质，得到若干结果，所得结果与我们熟知的相应函数的性质是完全相同的。因此，用幂级数定义和研究函数是处理函数问题的一种有效的手段，并能给问题的解决带来一些方便，但是，幂级数只是函数的一种表示形式，只有与函数的其他表示形式相互协调和补充，才能真正简洁有效地处理函数问题。

Abstract

Power serieshave good nature of operation as well as termwise differentiate and intergral differentiate. Therefore,using theory of power series to express function can help study and application of function. On the though, this paper defines exponetiat function, logarithmic function, triangle function, anti-triangle function, hyperbolic function, basic function, two anti-basic functions and so on. And using theory of power series study the nature of these functions and we can obtain some consequences. And these consequences with the nature of relevant function are complete identication. So using theory of power series to define and study function is an effective method of deal with question of function. And it can bring some conveniences. But power series is only an expressing behavior of function and has limits. When power series and some expressing behaviors of function coordinate and additionate, we can tersely and effectively deal with question of function.

Key words: power series, function, nature

目 录

前言……………………………………………………………………………………………………1

1 预备知识…………………………………………………………………………………………3

2 指数函数……………………………………………………………………………………………4

3 对数函数…………………………………………………………………………………………7

4 三角函数…………………………………………………………………………………………8

5 反三角函数………………………………………………………………………………………11

6 双曲函数…………………………………………………………………………………………12

7 一般初等函数……………………………………………………………………………………13

8 非初等函数………………………………………………………………………………………15

9 结束语…………………………………………………………………………………………17

10 参考文献…………………………………………………………………………………………19

前言

表达函数的对应关系有各种不同的形式，在中学里我们常用的表示方法有：列表法、图象法和解析法，学了积分以后，我们又可以用积分来表示函数，幂级数则是表示函数关系的另一种形式。我们知道，如果函数 在点 处是无穷可微的，而且其泰勒公式余项 ，根据泰勒定理， 在 的某邻域内可表示成 的幂次级数，例如：

等等。

我们知道幂级数具有较好的性质，例如，在其收敛区间内，可以逐项微分和逐项积分，而且经逐项微分或逐项积分所得幂级数和原幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛区间（不含区间端点），因此，我们欲用幂级数来表示函数，必将给函数性质的讨论及应用提供方便，基于这一考虑便产生了我们的课题----应用幂级数理论研究函数的研究。在下面的讨论中，我们假定并不了解所涉及的函数，但熟知幂级数理论，利用幂级数来定义函数，并根据幂级数理论研究函数的性质，这就是课题研究的基础和目的。

1 预备知识

为叙述方便起见，我们先引入下面几个结论：

引理1[1]：若幂级数 的系数满足

则该幂级数的收敛半径为：

引理2[1]：设幂级数 的收敛半径为R（R＞0），则和函数 在（-R，R）内连续，若 还在 收敛，则 在 左（右）连续。

引理3[2]：设幂级数 的收敛半径为R（R＞0），和函数为 ，则：

(i) 在 内具有任意阶导数，并且

… , ( …)

（ii） 对任意 ，有

引理4[3]：设幂级数 与 的收敛半径分别为 ，

（i）

(ii)

(iii)

(iv)

其中 。

引理5[1]：设 在 上连续，在 内可导。

（i） 若 ，则 是 上的递增（递减）函数。

(ii) 若 ，则 是 上的严格递增（递减）函数。

引理6[4]： 则 为区间I上的凸（凹）函数 。

引理7[5]：设 在区间I上连续，则值域 也是一个区间。

引理8[6]：设 为正项级数，且极限 存在，则：

（i） 当 时，级数 收敛；

(ii) 当 时，级数 发散。

引理9[1]：在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

2 指数函数

定义1：规定

并称为 的指数函数。

由于

所以幂级数 收敛的半径 ，故指数函数 的定义域为 。指数函数具有下面一些重要性质。

定理1：（i） 在 上连续；

(ii) 在 上存在任意阶导数，并且

（1）

(iii)

（2）

(iv) 在 上，

(v) 是 上的严格递增的凸函数

(vi) ，从而 的值域为

证明：(i) 由引理2可知， 在 上连续

(ii) 由引理3可知， 在 上具有任意阶导数，而且对任意 ，有

从而，

依次推下去，即可得到

成立

（iii） 由引理4有

可以用待定系数法推得

（3）

所以有

这就证得（2）式成立

（iv） 由定义可知，

假设存在 使 则由 ，有

显然矛盾，因而在 上 ，于是对任何 ，由定义可知，

假若存在 使 ，则因 于是有

显然矛盾，所以在 内进而在 内，

（v）由(ii)和(iv)，在 内 ，由引理5知， 是 内的严格递增函数，又因 及引理6知， 是 内的凸函数。

(vi) 因 是 内的严格递增函数，所以 ，

从而，由(iii)有

于是， ，根据 的单调性及归结原理，则可知 ，由此及引理7， 的值域是 ，证毕。

3 对数函数

定义2：规定

并称为 的对数函数。

由引理1易求得幂级数 的收敛半径为R=1，收敛区间为（0，2），

而且当 =2时，级数 收敛， 时，级数 发散，故函数 的定义域为 且具有下列性质。

定理2：（i）

(ii) 是定义域 上的连续函数

(iii) 在 内具有任意阶导数，且

, （4）

证明：(i)

(ii) 由引理2知， 在 上连续

（iii） 由引理3知， 在 上具有任意阶导数，并且

，

（4）式成立。证毕。

4 三角函数

定义3：规定

（5）

（6）

并分别称为 的正弦函数与余弦函数。

由于（5）式右端幂级数的系数 依次是0，1，0，… …，所以， ， 由引理1可知，该幂级数的收敛半径R= ，所以正弦函数 的定义域为 ，同理可知，余弦函数 的定义域也是 ，应用幂级数理论，我们可以推得正弦函数和余弦函数具有以下性质。

定理3：（i） 与 都在其定义域 上连续

(ii) 与 都在其定义域 内具有任意阶导数，并且 （7）

（8）

（iii） 是 上的奇函数， 是 上的偶函数

(iv) 与 都在其定义域 上成立下列公式：

（9） （10）

特别地有，

（11） （12）

特别地有，

（13）

(v) 在 上成立

(14)

(vi) 在 上成立欧拉公式,即有

(15)

其中 为虚数单位。

证明:（i） 由引理2即知, 与 都在其定义域 上连续

（ii） 由引理3知, 与 都在其定义=域 内具有任意阶导数，并且

依此继续求导下去, 的其余各阶导数,其结果依次为 、- 、- 、 综合起来便得（7）式。

同理可证（8）式成立。

（iii） 对任意 有

所以 是 上的奇函数。

同理可证 是 上的偶函数。

（iv） 由定义3及引理4，有

(16)

同理可得，

（17）

将（16）与（17）相加即得（9）式，类似地可证得（10）、（11）、（12）、（13）式成立。

（v） 由（9）式即可知（14）式成立。

(vi) 将 形式地代入指数函数 的定义式，有

（18） 由于 与 都在 内绝对收敛，所以，幂级数

在 内也绝对收敛，于是由（18）式和 与 的定义式，即得（5）式，证毕。

5 反三角函数

定义4：规定

并分别称为 的反正弦函数与反余弦函数。

不难求得幂级数 的收敛半径为 ，当 时，由引理8可知级数收敛，故此幂级数的收敛域为 ，所以反正弦函数 的定义域为[-1，1]，同样可以推知反余弦函数 的定义域也是[-1，1]，它们具有下列一些性质。

定理4：（i） 与 都在其定义域[-1，1]上连续。

(ii) 与 都在（-1，1）内具有任意阶导数，并且

(iii) 与 都是[-1，1]上的奇函数

(iv) 在[-1，1]上成立， 。

证明：由引理2和引理3即知性质（i）、（ii）成立，又由于对任何 有

所以 是[-1，1]上的奇函数，同理可证 也是[-1，1]上的奇函数。

由定义4即知（iv）成立。证毕。

6 双曲函数

定义5，规定

并分别称为 的双曲正弦函数与双曲余弦函数。

由引理1易求得幂级数 与 的收敛半径都是 ，所以，双曲函数 与 的定义域都是 ，两双曲函数具有下列一些性质。

定理5:(i) 与 都是其定义域 内的连续函数。

(ii) 与 都在 内具有任意阶导数，并且

，

(iii) 是 内的奇函数， 是 内的偶函数。

证明：由定义5及引理2，引理3，即知性质（i）与(ii)成立，并且

再对上面两式依次求导数就可得它们的高阶导数公式。

至于（iii），由定义5，对任何 ，显然有

故(iii)成立，证毕。

7 一般初等函数

许多初等函数都可用幂级数来定义，并应用幂级数讨论与研究它们的性质，下面，我们仅举一个例子予以说明。

定义6：规定

易求得定义6中两级数的收敛域均为（-1，1），故函数 与 的定义域是（-1，1），由定义6及引理2，引理3即可得知， 与 是定义域上的连续函数，而且具有任意阶的导数。

另外，由引理4，在（-1，1）内，有

由此可见，在（-1，1）内， ，因此，我们也可以由函数 与 的性质来推出函数 的某些性质。

例如，对任意取定的 ，因为

所以，由引理9，有

（19）

类似地，不难推得

（20）

于是，由定理1，有

（21）

（22）由（19）、（20）、（21）、（22）四式及引理5，引理6可知 与 都是其定义域 上的严格递增的凸函数。

8 非初等函数

我们知道，1853年，刘维尔证明了积分 与 都存在，但其原函数不是初等函数[8]，因此，

都是非初等函数。下面我们利用幂级数来定义 与 ，并讨论它们的性质。

定义7：规定

根据引理1，不难求得定义7中两幂级数的收敛半径都是 ，所以，函数 与 的定义域是 。下面我们来讨论这两个非初等函数的性质。

定理6：（i） 与 都是其定义域 内的连续函数。

(ii) 与 都在 内具有任意阶导数，并且

(iii) 与 都是其定义域 内的奇函数。

(iv) 是 内的严格递增函数，而且在 内是严格凹的，在 内是严格凸的。原点 是曲线 的拐点。

证明：由定义7及引理2，引理3即知(i)和(ii)成立。由于对任意的

所以， 与 都是其定义域 内的奇函数。

由（ii），有

由引理5即知， 是 内的严格递增函数。又由于

可见在 内 在 内 所以， 在 内是严格凹的，在 内是严格凸的，从而，曲线 以原点 为拐点。证毕。

9 结束语

我们用幂级数定义了指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和双曲函数等初等函数以及某些非初等函数，并应用幂级数理论讨论了这些函数的性质，得到与我们熟知的结论完全相同的一些结果，而且从讨论的过程中不难看到，用幂级数定义函数，给函数性质的讨论带来许多方便。例如，非初等函数 它表示的就是积分 ，由于这个积分是不能积出的，即不能用初等函数来表示，从而它的积分 也就无法用原来的定积分形式表示了，而按幂级数定义，有

仍然可以用原有的幂级数形式来表出，而且运算很简便。

值得指出的是用幂级数表示和研究函数也有它的局限性。首先，能用幂级数表示的函数必须是无穷可微的，因此，用能幂级数来表示和研究的函数的范围是非常有限的，如著名的犹利克雷函数

就不能利用幂级数来定义和研究它。其次，因幂级数的收敛区间往往只是该幂级数收敛中心的某个邻域，从而，用幂级数定义的函数其定义域往往比该函数的存在域要小一些。例如，对数函数 的存在域是 ，而用幂级数定义的对数函数 的定义域仅为 。另外，用幂级数表示函数，能给函数的研究和应用带来一些方便，但也可能产生一些新的困难。例如，指数函数

要证明

一般是利用待定系数法[7]去计算幂级数的商，即设

或

然后通过比较两端 的同次幂的系数来确定出 ，这样做计算量是很大的。在中学里，我们是通过乘幂来引入和定义指数函数的，因此，根据同底数的幂的运算法则，即得到 。又如，根据三角函数的几何定义，容易得知正弦函数是以 为周期的周期函数，且以 为零点，而按级数定义来证明正弦函数 是以 为周期的周期函数及以 为零点就是一件不容易的事情了。因此，用幂级数定义和研究函数有优越的一面，也有其局限性，只有与函数的其他定义形式相互补充，才能真正发挥其效用。

10 参考文献

[1]华东师范大学数学系，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2001年6月第3版。

[2]欧阳光中，姚允龙，数学分析[M]，上海：复旦大学出版社，1993年3月第1版。

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[5]沈燮昌，数学分析[M]，北京：北京大学出版社，1986年第1版。

[6] 。M菲赫金哥尔茨著，北京大学高等数学教研室译，微积分学教程（第二卷第二分册）[M]，北京：人民教育出版社，1975年12月第1版。

[7]斐礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，北京：高等教育出版社，1993年5月第1 版。

[8]林源渠，方企勤，数学分析解题方法[M]，北京：北京大学出版，1997年第1版。