用otsu算法进行图像分割

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OTSU是阈值分割中一种常用的算法，它可以根据图像自动生成最佳分割阈值。OTSU的核心思想是类间方差最大化。

令 left{ 0,1,2,...,L-1 right} 表示一幅大小为 Mtimes N 像素的数字图像中的 L 个不同的灰度级， n_{i} 表示灰度级为 i 的像素数。

图像中的像素总数为： n=n_{0}+n_{1}+...+n_{L-1} 。

像素的灰度级为 i 的概率为： p_{i}=frac{n_{i}}{n} 。且有： sum_{i=0}^{L-1}{p_{i}}=1 。

现在，假设我们选择一个阈值 T(k)=k,0<k<L-1 。并使用它把输入图像阈值化处理为两类 C_{1} 和 C_{2} ，其中C_{1}由图像中灰度值在范围 [0,k] 内的所有像素组成， C_{2} 由灰度值在范围 [k+1,L-1] 内所有像素组成。

则像素被分类到C_{1}中的概率为： P_{1}(k)=sum_{i=0}^{k}{p_{i}} （1）

像素被分类到C_{2}中的概率为：P_{2}(k)=sum_{i=k+1}^{L-1}{p_{i}}=1-P_{1}(k)

则分配到类C_{1}的像素的平均灰度值为：

m_{1}(k)=sum_{i=0}^{k}{iP(i|C_{1})}=sum_{i=0}^{k}{frac{iP(C_{1}|i)P(i)}{P(C_{1})}}=frac{1}{P_{1}(k)}sum_{i=0}^{k}{ip_{i}}

类似的，分配到类 C_{2} 中的像素的平均灰度值为：

m_{2}(k)=sum_{i=k+1}^{L-1}{iP(i|C_{2})}=frac{1}{P_{2}(k)}sum_{i=k+1}^{L-1}{ip_{i}}

灰度级为0到k的像素的平均灰度值为： m_{k}=sum_{i=0}^{k}{ip_{i}} （2）

整个图像的平均灰度值为：m_{G}=sum_{i=0}^{L-1}{ip_{i}} （3）

可以验证以下式成立：

P_{1}(k)cdot m_{1}(k)+P_{2}(k)cdot m_{2}(k)=m_{G} （4）

P_{1}(k)+P_{2}(k)=1 （5）

则类间方差定义为(为方便书写省略 k)：（由式（4）、（5）可推得）

sigma_{B}^{2}=P_{1}(m_{1}-m_{G})^{2}+P_{2}(m_{2}-m_{G})^{2}=P_{1}P_{2}(m_{1}-m_{2})=frac{(m_{G}P_{1}-m)^{2}}{P_{1}(1-P_{1})}（6）

全局方差为：

sigma_{G}^{2}=sum_{i=0}^{L-1}{(i-mG)^{2}p_{i}} （7）

令 eta=frac{sigma_{B}^{2}(k)}{sigma_{G}^{2}} ，其中 sigma_{B}^{2}(k)=frac{(m_{G}cdot P_{1}(k)-m(k))^{2}}{P_{1}(k)cdot(1-P_{1}(k))} （8）

由式（6）可知，两个均值 m_{1}和 m_{2}彼此隔得越远， sigma_{B}^{2}越大，这表明类间方差是类之间的可分性度量。因为sigma_{G}^{2} 是一个常数，所以 eta 是一个归一化后的可分性度量。

所以我们要求得最佳阈值 k^{*} ，使得 sigma_{B}^{2} 最大，即：

sigma_{B}^{2}(k^{*})=max_{0 leq kleq L-1}{sigma_{B}^{2}(k)}

OTSU算法步骤

计算输入图像的归一化直方图。使用 p_{i} ， i=0,1,2,...,L-1 表示该直方图的各个分量。

用式（1），对于 k=0,1,2,...,L-1 ，计算 P_{1}(k) 。

用式（2），对于 k=0,1,2,...,L-1 ，计算 m(k) 。

用式（3）计算全局灰度均值 m_{G} 。

用式（8），对于 k=0,1,2,...,L-1，计算类间方差 sigma_{B}^{2}(k) 。

得到OTSU阈值 k^{*}，即使得sigma_{B}^{2}(k)最大的 k 值。如果最大值不唯一，则将各个最大k 值平均得到 k^{*} 值。

在 k=k^{*} 处计算可分性度量 eta 。