泰姬陵数学之美 我心中的数学观——论数学之美

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本文就从香港中文大学黄毅英教授发表在《数学教育学报》杂志上的《数学观研究综述》一文谈起。这篇文章大概讲述了三部分内容——什么是数学、数学观的研究、数学观的改变。首先，什么是数学？这个研究面太过广泛，如果用数学之外的语言来概括作为一个整体的“数学”，或者说给“数学”下一个定义，确实有一定的难度。鉴于文面有限，我只就文中谈到的“数学之美”这一个数学观的表现形式做出论述，给出我的个人见解。由于本文的文体属读书笔记类而非学术论文，我将更多地结合我的个人经历和感悟来谈这一数学观问题。

文中谈到数学之美时，这样写道：这种美不局限于形状对称之美，也包括发现新方法的惊喜之美。的确，在绝大多数国家的小学数学课上，我们就会学习到所谓轴对称、中心对称、平移和旋转等概念。这些变换可以产生美丽的图形，充盈着和谐的感觉。这种和谐怎么来的？很明显，很大程度上可以说是其中的数学规律产生的。换句话说，充满和谐感觉的几何图形源于简单的图形按照一定的规律的变换得到，而如果缺少这种规律，剩下的就只有杂乱无章。正是因为这种规律属于数学范畴，所以这种和谐的美感就被很自然地归入“数学之美”范畴了。

但是，我不得不指出：我相信这种美更多局限于外表，而并不能真正吸引人陶醉于数学。或许，一个愿意研究并且欣赏、沉迷于这种美的人会爱上美术或者一些建筑、设计领域，但未必很可能爱上数学。因为，这种美并没有触及数学的核心，而只是一种外在的表现。我曾经提到，如果数学是一个三维单位闭球（去球心）D: x^2+y^2+z^2≤1，（x,y,z）≠（0,0,0） ，它的边界x^2+y^2+z^2=1是美学，而越像球心靠近，其与“科学”的交集就越大；而球心O（0，0，0）就是哲学。我在网络上看过很多数学之美的视频，也只不过是我上面提到的那些图形而已，或者加几个表明他们来历的数学公式。你一定很少听说谁因为看了这些美丽的几何图形就爱上整个数学的吧。如果把把表示数学的球定义一个映射 f: Drightarrow R^{3} 映到另一个表示数学之美的三维空间的球上，表示数学的球面不过也只能被映到后者的球面上；换句话说，美学部分的数学所展现出来的美也仅仅局限于表面。所以，我认为数学的科学与哲学层面的内在美才是真正吸引人爱上数学、并且愿意为之奉献毕生精力的真正吸引力和推动力。

以我个人为例，让我热爱数学、并且愿意为之终生奋斗的推动更多的在于对未知的探索。这种未知包括像哥德巴赫猜想、黎曼猜想这样人类尚未完全解决的世纪难题，也包括数学中的概念或者说概念的外延之间尚没有被发现的联系，当然也包括抛开既定理论框架的束缚，比如拓扑空间的推广。个人而言，我在2017年8月14日和2018年8月13日分别在北京水清木华园时发表过两首诗歌——《生命的奇迹》和《昔日重现——伟大的猖狂》。他们属于议论抒情诗歌，但与众不同的是，这两首诗的论据不是事实论据，也不是道理论据，而全部是数学的概念和定理。这两首诗是我分别用十余天时间完成，依我看可谓完美展现了数学概念之间、数学与生活、数学与艺术之间的联系，他们体现的是足以让人痴迷于数学的真正的数学之美。同时，这种联系是不深入研究数学所无法获得和感受到的，比如这两首诗分别蕴含着我两年所有数学专业课的积淀。我相信，相比提到的几何图形之美，这种美更加震撼人心。

我喜欢科学上的统一，在我心里，科学里最优美的部分就是统一。我喜欢寻找巧合里的必然规律从而甚至发现一些涵盖他们的更广泛的规律，来实现进一步的统一。数学里最奇妙和令人欣慰的事就是用一个一般性结论概括特殊结论；一致的是推广，矛盾的是悖论。而我喜欢矛盾，因为那意味着一个看似正确的定理的终结，或者意味一个新的统一的开始。这种对数学的联系的探秘、对统一的追求，也成为构成我心中的数学之美的一部分。这种数学之美不再局限于表面，而是那些如果不深入数学的球体内部就无法获得的美。正是这种数学之美在激励着我不断学习前人的研究成果，并且把他们的研究成果当成我自己研究的工具、朋友，成为我的灵感的来源，从而推动数学新的发展。也正是这种数学之美在激励着我在数学的专业道路上永不停止；我也会在这条路上一直走下去，发现和创造更多的数学之美。

正如《数学观研究综述》这篇文章提到：“当你发现你对一个问题得出一个答案或有个新发现新方法时，就有一种惊奇感，然后觉得挺有趣．而在这当中得到乐趣，就感到数学也是美的．这种美是一种感觉，没法用语言表达出来．” 数学，意味着创新和抛开束缚、羁绊；而数学之美，奠定一个个体对数学的热忱和信念，进而推动这种创新的发展。这就是我的数学观中占有重要地位的组成——数学之美。

玽雄

作于2019-04-17