同态同构同余(抽象代数四：同态与同构)

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定义1.4.1 设 {G_1;cdot},{G_2;*} 为两个群。若 f:G_1rightarrow G_2 使得 forall a,bin G_1,f(acdot b)=f(a)*f(b) .我们便称 f 为 G_1 到 G_2 同态映射。简称同态。若同态为单射则为单同态。若为满射则为满同态。

若同态既满又单，则称 f 为同构。称 G_1 与 G_2 同构，记作 G_1simeq G_2 。

证明：显然

例：1. f: GL(n,mathbb{P})rightarrow {mathbb{P}-{0};times} \f(A)=mathrm{det}A

则 f 为满同态。

2.n维 mathbb{P} 线性空间 V 上的所有可逆线性映射的集合 GL(V) ,则 GL(V)simeq GL(n,mathbb{P}) .

考虑： sigma :GL(V)rightarrow GL(n)\ Amapsto mathrm M(A;alpha_1,alpha_2,alpha_3...alpha_n)

（即把A 用矩阵表示）

3. 若Hlhd G，则有自然映射： π :Grightarrow G/H 为自然（满）同态。

且有： π(H)=H/N

命题1.4.1设 f:G_1rightarrow G_2,g:G_2rightarrow G_3 为同态。则 gcirc f:G_1rightarrow G_3 为同态。且若 g,f 满（单，同构）则 gcirc f 为满（单，同构）。

证：略。

命题1.4.2：设 f 为群同态。则 f(e_1)=e_2,f(a^{-1})=f(a)^{-1} 。

证：略。

命题1.4.3 f:G_1rightarrow G_2 为群同态，则 f(G_1)<G_2

证：设 f(G_1)ne phi ， forall a',b'in f(G_1),exists a,bin G_1 有 f(a)=a',f(b)=b'Rightarrow a'(b')^{-1}=f(a)(f(b))^{-1}=f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})in f(G_1) 由定理1.3.1，所以成立。

定义1.4.2设 f 为同态，则定义 f 的核为 mathrm {ker} f={ain G_1|f(a)=e_2}

实际上来让我们对比线性代数里的零空间

若 Tin mathcal{L}(V,W) ，则 mathrm{null} T={x|Tx=0}

事实上，零空间也叫做核。

命题1.4.4 mathrm {ker} flhd G_1

证明： e_1in mathrm{ker} fRightarrow mathrm{ker}fne phi 取 forall a,bin mathrm{ker}fRightarrow f(a)=f(b)=e_2 有： f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=e_2e_2^{-1}=e_2Rightarrow ab^{-1}in mathrm{ker}fRightarrow mathrm{ker}f<G_1

对 forall gin G_1,hin mathrm{ker} f,f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g)^{-1}=f(g)e_2f(g)^{-1}=e_2Rightarrow ghg^{-1}in mathrm{ker}f 即 mathrm{ker}f lhd G_1 。

我们可以对比一下：

若 Tin mathcal{L}(V,W) ， mathrm{null}T 为 V 的子空间。

例：设 Hlhd G,π :Grightarrow G/HRightarrow mathrm{ker} π =H

证： π (a)=aH 而 G/H 的幺元是 H 所以需要使 aH=HLeftrightarrow ain H 即 mathrm{ker} π =H

命题1.4.5: f:G_1rightarrow G_2 为单同态 Leftrightarrow mathrm{ker} f={e_1}

证：显然。

对比：

若 Tin mathcal{L}(V,W) ，则 T为单的 Leftrightarrowmathrm{null}T={0}。

下面这个定理可以说是群里面最重要的几个定理之一了。

群的同态基本定理: f:G_1rightarrow G_2 为满同态，则 G_1/mathrm{ker} fsimeq G_2 。

在我们证明他之前，可以看一下如下这个定义和定理做个对比：

定义：线性映射： T:Vrightarrow W 是满的，当且仅当其值域 mathrm{range} T=W={Tv|vin V} .

我们对比可以看到如果说 f 是满同态，则 mathrm{range} f=G_2 。

定理： V/(mathrm{null }T)simeq mathrm{range} T

我们对比一下 Vleftrightarrow G_1\mathrm {null}Tleftrightarrow mathrm{ker} f\mathrm{range}Tleftrightarrow G_2 。

所以同态定理成立是很显然的事情。

证：设 N=mathrm{ker} f ，定义 phi:G_1/mathrm{N}rightarrow G_2,forall ain G_1,phi(aN)=f(a).

1.首先我们要验证 phi 是良定义的。即我们至少 forall a,b(a=b)Rightarrow f(a)=f(b) 不能出现 a=bRightarrow f(a)ne f(b)

所以取 a_1N=a_2N则 a_1^{-1}a_2in NRightarrow f(a_1^{-1}a_2)=f(a_1^{-1})f(a_2)=e_2Rightarrow f(a_1)=f(a_2).

所以 phi 良定义。故，有如下交换图：

quad begin{CD} G_1 @>^{f}>> G_2 \ @V^{π }VV @VV^{mathrm{id}_{G_2}}V \ G_1/N @>_{phi}>>G_2 end{CD}

2.验证 phi 为满射。

forall a,b in G_1Rightarrow phi(aNcdot bN)=phi(abN)=f(ab)=f(a)f(b) 同时有

phi(aN)=f(a),phi(bN)=f(b)

所以有： phi (aNcdot bN)=f(a)f(b)=phi(aN)phi(bN) .即 f 为满射则 phi 为满射。

假如这个不能理解，可以从交换图理解，由于 π ， f 是满射，所以由定理1.4.1可得 phi 满。

3.验证 phi 为单射。

取 a_1,a_2in G_1 使 phi(a_1N)=phi(a_2N)Rightarrow f(a_1)=f(a_2)Rightarrow f(a_1^{-1}a_2)=e_2Rightarrow a_1^{-1}a_2in NRightarrow a_1N=a_2N 即 phi 为单射。

所以 phi 为同构。

推论：设f:G_1rightarrow G_2 为同态，则： G_1/ mathrm{ker}fsimeq f(G_1)

我们可以有如下交换图。

quad begin{CD} G_1 @>^{π }>> G_1/N\ @V^{f }VV @VV^{phi}V\ G_2 @<_{i}<<f(G_1) end{CD} (其中 i 为嵌入映射）

我们再次对比一下：

定理： V/(mathrm{null }T)simeq mathrm{range} T

可以说，完全是一个模子里刻出来的。

定理1.4.8设 f:G_1rightarrow G_2 为满同态，记 N=mathrm{ker} f .则，以下成立：

1) f 建立 G_1 中所有包含 N 的子群与 G_2 的所有子群之间的一一对应。

2)上述对应将正规子群对应到正规子群里。(即在这个对应下 Hlhd G_1Leftrightarrow f(H)lhd G_2 ）

3)若 Hlhd G_1,Nsubseteq HRightarrow G_1/Hsimeq G_2/f(H)

提示：1.只需要证明 {K<G_1|Nsubseteq K}rightarrow {K'<G_2} 有 f^*:Kmapsto f(K) 为单与满。

2.只需要证明 {Klhd G_1|Nsubseteq K}rightarrow {K'lhd G_2} 有 f^*:Kmapsto f(K) 为单与满。

3.设 π _2:G_2rightarrow G_2/f(H) 为自然同态，令 phi:G_1rightarrow G_2/f(H) 则 phi=π _2f 我们只用证明 mathrm{ker}phi=H 就可以了。

这个定理其实被包含在一个更大的定理里：

第四同构定理/对应定理：设 f:G_1rightarrow G_2 为同态，则以下成立：

1)若 H<G_1Rightarrow f(H)<G_2

2) K<G_2Rightarrow f^{-1}(K)<G_1 且 mathrm{ker} fsubseteq f^{-1}(K) ( f^{-1}(K)={xin G_1|f(x)in K} )

3)定理1.4.8

现在让我们证明对应定理：

1.见定理1.4.3

2. e_2in KRightarrow f^{-1}(e)=mathrm{ker}f .由于可能 {e_2}subseteq KRightarrow f^{-1}(e_2)subseteq f^{-1} (K)

3.令 H<G_1,Nsubseteq H ，由一一对应，我们知道要证明： f 为一对一映射。所以 f^{-1}circ f=mathrm{id}_H 与 fcirc f^{-1}=mathrm{id}_K .

首先： f(f^{-1}(K))=K 显然成立。

其次： Hsubseteqf^{-1}(f(H)) 显然成立。取 ain f^{-1}(f(H))Rightarrow f(a)in f(H) 则存在 hin HRightarrow f(a)=f(h)Rightarrow f(ah^{-1})=e_2 故 ah^{-1}in mathrm{ker} fsubseteq H 即 ain HRightarrow f^{-1}(f(H))subseteq H 即成立。

接着：若 forall hin H,gin G 有 f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g)^{-1}in f(H)Rightarrow f(H)lhd G_2 （这个证明好像不是特别妥当）

最后： mathrm{ker}phi=f^{-1}(f(H))=H .

由定理1.4.8我们可以得到两个交换图：

1. quad begin{CD} G_1 @>^{f}>> G_2\ @V^{π _1 }VV @VV^{π _2}V\ G_1/H @>_{phi}>>G_2/f(H) end{CD} (其中 phi 为同构）

2. quad begin{CD} G_1 @>^{f}>> G_2\ @V^{π _1 }VV @VV^{π _2}V\ G_1/H_1 @>_{phi}>>G_2/H_2 end{CD} (其中 f(H_1)subseteq H_2 , phi 为同态）

(第一同构定理）推论1.4.9:设 Nlhd G,π 为自然同态， π:Grightarrow G/N 则 π 建立了 G 包含 N 的子群到 G/N 的子群之间的一一对应，将正规子群映射到正规子群里，若 Nlhd G ，且 Hlhd G ,Nsubseteq HRightarrow G/Hsimeq (G/N)/(H/N) .

证： mathrm{ker}π =N ，由定理1.4.8：若 Hlhd G_1,Nsubseteq HRightarrow G_1/Hsimeq G_2/f(H)

π(h)=hN 则记 π(H)=H/N ，所以有 G/Hsimeq (G/N)/π(H)=(G/N)/(H/N)

定理1.4.10(第二同构定理） 设 Nlhd G,π :Grightarrow G/N 为自然同态， H<G 则：

1) HN 为 G 中包含 N 的子群，且 HN=π ^{-1}(π (H)) 即 HN 为 π(H) 的原象

2) (H cap N)lhd H,mathrm{ker}(π |_{H})=Hcap N

3) HN/Nsimeq H/(Hcap N)

证：

1）由于Nlhd G,π :Grightarrow G/N 为自然同态，所以 mathrm{ker}π =N

取 e_1in H ,则有 e_1Nin HNRightarrow Nsubseteq HN,取 forall h_1,h_2in H,n_1,n_2in N(h_1n_1)(h_2n_2)^{-1}=h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1}=h_1h_2^{-1}(h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}) 由 H<GRightarrow h_1h_2^{-1}in H，由 Nlhd GRightarrow n_1n_2{-1}in NRightarrow h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}in N所以 (h_1n_1)(h_2n_2 )^{-1}in HN,又 π (HN)=π (H)π (N)=π (H)由定理1.4.8的1)中建立的对应，将 HN映到 π(H)故 π^{-1}(π(H))=HN

2） Hcap Nsubseteq H 成立， Hcap N<G 成立，见前几章证明。 取nin Hcap N,hin H， hnh^{-1}in H ,由于 nin Nlhd G,H<GRightarrow hnh^{-1}in N 所以 hnh^{-1}in Hcap NRightarrow Hcap Nlhd H

由于 mathrm{ker}(π )=N 又由于限制在 H 中，所以自然而然必须 π |_H 的核里的元素必须要既在 H 中又在 N 中，即 mathrm{ker}(π |_H)=Hcap N 。

3)考虑 π (H)=π (HN)=HN/N 由同态基本定理，且 mathrm{ker}(π |_H)=Hcap N 所以 H/mathrm{ker}(π |_H)simeq π (H)=π (HN)所以HN/Nsimeq H/(Hcap N) 。

注：其实这三个同构定理每个版本都有不同的说法，比如下面这个也有一定道理：

第三同构定理 ：设 Nlhd G,H'leq G/N 则：

1) exists !Hleq G,Nsubseteq HRightarrow H'=H/N

2) 若H'lhd G/N，exists !Hlhd G,Nsubseteq HRightarrow H'=H/N 且 G/Hsimeq (G/N)/(H/N)

这个定理暗示了 G/N 的子群仍然为商群，且为 H/N(H<G,Nsubseteq H) 的形式。且 Hlhd GLeftrightarrow H/Nlhd G/N .

证明：1.取 π :Grightarrow G/N , π (a)=aN,mathrm{ker}π =N 由定理1.4.8当 H'leq G/N 时，必然存在一个 G 中唯一的含核子群 H 对应，即 π (H)=H' ,由于 π (H)=H/N 所以 H'=H/N

2. 由于H'lhd G/N ，由定理1.4.8存在 G 中的唯一含核正规子群 H 使得 H'=H/N 由第一同构定理得： G/Hsimeq (G/N)/π(H) 所以成立。

群的同态定理（第一）:若 f:G_1rightarrow G_2 为满同态，则 G_1/mathrm{ker} fsimeq G_2 。

第一同构定理（第二）: H,Nlhd G,Hsubseteq NRightarrow (G/H)/(N/H)simeq G/N

第二同构定理（第三）: 设 Nlhd G ,H<G 则： HN/Nsimeq H/(Hcap N)

第四同构定理:设 f:G_1rightarrow G_2 为满同态，记 N=mathrm{ker} f .若 Hlhd G_1,Nsubseteq HRightarrow G_1/Hsimeq G_2/f(H)