数学公式反比例函数 反比例函数的知识整理

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在某一变化过程中，设两个变量 x, y . 如果对于每一个 y 值，都有唯一的 x 值与其对应，那么我们称 y 是 x 的函数. 初中，我们首先研究了一次函数（ y=kx+b ）.

现在不妨把目光放到分式和函数上来. 我们知道，形如 frac{B}{A} （ A,B 是整式，A 中含有字母）的代数式称作分式. 如果在分母的位置放上自变量 x ，分子的位置给定一个确定的实数，并且令整个式子等于 y ，那么我们就得到一个反比例函数——形如 y=frac{k}{x} （ k 是常数，叫作比例系数，且不等于 0 ）的函数叫作反比例函数. （若等号后除了以自变量为分母的一个分式以外，还加了一个整式，则它不是反比例函数）

反比例函数有两个十分经典的变形： xy=k 和 y=x^{-1} . 第一个变形告诉我们，如果两变量的积是一个常数，那么这两个变量成反比例.

例如，给定下面两个表格（ x 是自变量）：

表格

显然，第一个表格中自变量和因变量（函数）的乘积是一确定的值 12 ；而第二个表格则是随着 x 增长， y 也相应增长. 我们便可以猜测，第一个表格表示的是函数 y=frac{12}{x} ；而第二个表格则是 y=2x+3 .

反比例函数的图像是双曲线. 给定平面直角坐标系 xOy ，我们可以试着画出函数 y=10x^{-1} 的图像如下图：

上述反比例函数的图像

看图发现，反比例函数的图像与 x,y 两轴没有交点：这意味着函数 y=frac{k}{x}自变量的取值范围是 xne0 ，因为分母不等于 0 ；而由于自变量和 k 都不等于 0 ，所以函数值也不等于 0 ，由此，反比例函数的双曲线与坐标轴没有交点.

下面我们来研究反比例函数的增减性. 进行一下类比：在物理上，有压强公式 p=frac{F}{S} . 我们在探究物体压强的影响因素时曾经发现这一规律：即，受力面积越小，压强越大；压力越大，压强越大（注意控制变量）. 其实这就是我们小学时发现的规律：等式 4div2=2 中，如果使除数变小（如 4div1=4>2 ）或被除数变大（如 8div2=4>2 ）商就会变大. 从图像的角度来看，观察双曲线的变化趋势， y 随 x 的增大而减小.

等等——这个增减性的说法全面吗？不妨考虑，对于 xy=10 当 x=2 和 x=-3 时的情况，我们发现当 x 取负值时，函数值没有按照之前所述的规律变化. 事实上，完整的表述要加上在每一个象限内，否则该说法就是错的.

但是，真的只有一种情况吗？绘制一对 k<0 的双曲线，我们发现此时双曲线不在第一象限和第三象限，而是到了另外两个象限. 事实上：

k>0Leftrightarrow 图像在第一、三象限， k<0Leftrightarrow 图像在第二、四象限.

并且，类比 1<2, -1>-2 ，我们可以发现在比例系数比 0 大或小时，增减性也不同，具体的如下：

当 k>0 时，在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小.

当 k<0 时，在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大.

注：封面图是五点共圆定理，有时间写一发~