三者容斥问题3个公式(三集合容斥原理的三个公式都是怎么被推导出来的)

下面是好好范文网小编收集整理的三者容斥问题3个公式(三集合容斥原理的三个公式都是怎么被推导出来的)，仅供参考，欢迎大家阅读！

我们用下图来进行原理说明

三集合容斥问题原理图

这三个⚪所围面积之和是S（1+2+3+4+5+6+7）

题目一般是分别给出黑⚪面积S黑（1+4+5+7），绿⚪面积S绿（2+4+6+7），蓝⚪面积S蓝（3+5+6+7），此时三者相加为1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7，与1+2+3+4+5+6+7相比，多了4、5、6、7、7。

此时我们就要留意题目所给的条件了，有的题是分别给出A（4+7，即黑⚪与绿⚪的公共面积）、B（5+7，即黑⚪与蓝⚪的公共面积）、C（6+7，即绿⚪与蓝⚪的公共面积）、D（7）

那么S=S黑+S绿+S蓝-A-B-C+D

下面我们来看一道例题

有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有种。

A.14

B.5

C.18

D.17

我们将题目与理论进行对照，可知68、77、59就相当于黑⚪、绿⚪、蓝⚪的面积，即S黑、S绿和S蓝，54、43、35就分别代表着黑⚪与绿⚪的公共面积、绿⚪与蓝⚪的公共面积、黑⚪与蓝⚪的公共面积，即A、C、B，当然实际做题的时候根本不用分这么细，只要知道哪三个对应哪三个就可以了，30就是D。

本题中三个⚪所围面积+三种食品添加剂都不达标的种类=120

三个⚪所围面积S=S黑+S绿+S蓝-A-B-C+D

=68+77+59-54-35-43+30

我们暂时不用去算

三种食品添加剂都不达标的种类=120-（68+77+59-54-35-43+30）

根据尾数法我们可以得知最后一位是8

故选C

另一种情况就是题目中给出的并不是4+7、5+7、6+7，而是分别给出4、5、6或者是4+5+6这个整体，我们此时将4+5+6看成E

那么S=S黑+S绿+S蓝-E-2D

下面我们来看一道例题

某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使用两种方式学习的有20人，不存在三种学习方式都不用的人。那么，这次共发放了多少份问卷？

A.370

B.380

C.390

D.400

180、200、100依然分别对应S黑、S绿和S蓝，50对应D，需要注意的是，这里的20代表4+5+6这个整体，接下来我们代入公式

S=S黑+S绿+S蓝-E-2D

=180+200+100-20-100

=360

360÷90%=400

故选D

这样我们就把三集合容斥问题基本介绍完了，我们只需要判断出题中给的条件属于第一种类型还是第二种类型，随后代公式就可以轻松做出来了。