马克吐温有些议员(马克·吐温更正“有些议员不是Son)

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马克·吐温更正“有些议员不是Son of Bitch”(逻辑小知识057)

小时候看过的一则笑话，前面的文章也讲过，大意就是马克·吐温公开说“有些议员是 son of bitch ”，引起议员抗议，被判道歉并更正。于是马说我错了，更正为“有些议员不是 son of bitch ”。

当我哑然失笑的时候，并没有意识到这是一个量词逻辑的问题。存在量词的肯定形式，其矛盾语句是全称量词的否定形式，即“所有议员都不是 son of bitch ”。

但如果不从逻辑规则出发，还真的不好怎么辩驳马克·吐温。

不仅如此，此类的语句如何符号化，也是一个问题。我们可以来试试：

Some councilors are son of bitches.

Cx=“ x is councilor”；

Sx=“x is son of bitch”

那么，这句话应该如何符号化呢？

我们知道，如果是说“ All councilors are son of bitches.”

那么，我们可以符号化为

(x)(Cx ⊃ Sx)

那么，这句话可不可以符号化为下列语句呢？

(∃x)(Cx ⊃ Sx)

这似乎有一点不对，因为翻译为自然语言的话，我们可以说是“有一些人，如果他们是议员的话，那么他们就一定是狗娘养的”。

那么是不是下面这样呢？

(∃x)(Cx · Sx)

这句话可以理解为“有一些人是议员且是狗娘养的”。这似乎更符号“Some councilors are son of bitches”的原意。

但都是从理解出发，没办法讲清楚，或有效地证明，这也有违逻辑学的初衷。

那么，有没有一种方法来确定我们的哪一种符号化才是对的呢？

逻辑学家们于是又提出了一个新概念——展开式 Expansions 。

我们可以假设一个集合只有四个元素，分别为 Fa、Fb、Fc、Fd。

（x）Fx代表什么呢？

应该就是（ Fa·Fb ）·（ Fc·Fd ）吧。即对于 x ， Fa、Fb、Fc、Fd均为真。

我们再来探讨(∃x)Fx，假设有三个对象有限论域，那么 Fa、Fb、Fc 中，至少有一个为真。符号化就是[（ Fa∨Fb ）∨ Fc]。

课本上就是这样举例，全称量词的有限论域假设有四个对象，存在量词的有限论域假设有三个对象，为什么不都用四个呢，或者为什么不都用三个呢？不知道。或许后面的课文中会有答案，先放在这吧。

我们现在需要知道的是，利用展开式，可以考查前文所述存在量词语句的符号化问题。

接上前面的例子。

(∃x)(Cx ⊃ Sx)

展开式是[(Ca ⊃ Sa)∨(Cb ⊃ Sb)∨…]，省略号表示以此类推。

我们知道 Cx ⊃ Sx是一种蕴涵关系，而蕴涵关系的真值，只有在前者为真，后者为假时，语句才为假，其他情况均为真。

而如果某人不是议员，即前者为假，语句真值为真；如果某人是议员，那么只是当他不是狗娘养的情况下，我们的语句才能为假。

因此，只要 x 代表每一个人，那么 Cx ⊃ Sx总是为真，从而可以推导出(∃x)(Cx ⊃ Sx)永远为真，没有任何信息量，也就是说，这样符号化是不对的。

(∃x)(Cx · Sx)

展开式为[(Ca · Sa)∨(Cb · Sb)∨…]

假如有一个议员是狗娘养的，那么这个语句就必然为真，如果没有一个议员是狗娘养的，那么语句为假，如果不存在议员，语句亦为假。

因此这种符号化，与“Some councilors are son of bitches”的原意完全等价。

综上，将“Some councilors are son of bitches”符号化为“(∃x)(Cx · Sx)”是正确的。

另外，还有“只有 Only”、“只有……才 None But”、“除非 Unless”等语句的符号化也应该注意。比如：

只有认真学习的同学（Sx）会通过考试（Px）。

我们应该怎么符号化呢？

按直觉，应该是这样的：

(x)(Sx ⊃ Px)

实际不是这样的，因为这样等于说所有认真学习的同学都会通过考试。而实际上这句话的意思是，如果考试通过了，说明你是认真学习的。也就是说认真学习是通过考试的必要条件而非充分条件。

所以符号化应该是这样的：

(x)(Px ⊃ Sx)

其他的“只有……才 None But”、“除非 Unless”所表示的语句也是一样。