相似和合同 如何形象地理解矩阵的相似与合同

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Gee Law的答案言简意赅地道出了本质。

我这里来对那个答案做一些补充说明。

先说相似矩阵：

在一组基底 left{bm e_iright} 下，一个向量 bm alpha 通过线性变换 bm T ，变成另一个向量 bm beta 的过程，记为列向量与矩阵相乘的形式：

B=T A

其中 A,B 分别为 bmalpha,bmbeta 在基底 left{bm e_iright} 下的坐标分量， T 为线性变换 bm T 在该基底下的矩阵形式。

现在换一组基底 left{bm e'_iright} 。

假设新的基底下，向量 bmalpha,bmbeta 的分量形式为列向量 A',B' ，线性变换 bm T 对应的矩阵为 T' ，那么线性变换 bmbeta=bm Tbmalpha 在新基底下的表现形式为：

B'=T'A'

再假设向量的分量满足基底变换关系：

A'=RA,B'=RB

于是 B'=T'A'quadRightarrowquad RB=T'RA

两边同时乘以 R^{-1} ，可得：

B=R^{-1}T'RA

对比原基底下的表达形式 B=TA ，可知 T=R^{-1}T'R ，也就是 T 和 T' 互为相似矩阵。

所以相似矩阵可以看做同一个线性变换在不同坐标系下的表现。

接下来说合同矩阵。

Gee Law同学的答案中提到的双线性型，可以看做是两个向量空间的直积空间中的元素。

比如，两个 n 维向量空间的基底可以通过直积计算形成一个双线性型的基底：

bm S_{ij}=bm e_iotimesbm e_j=bm e_ibm e_j^T

一个双线性型的矩阵形式可以表示为这组基底的线性组合：

bm T=sum_{i,j}T_{ij}bm S_{ij}=sum_{i,j}T_{ij}bm e_ibm e_j^T

现在换一组基底 left{bm e'_iright}

假设在该基底下原来的 bm e_i,bm e_j 的分量形式分别变为 E_i',E_j' ，双线性形的矩阵形式变为：

bm T=sum_{i,j}T'_{ij}bm e'_ibm {e'}_j^T

假设两组基底之间的变换关系为：

bm e_i=sum_jR_{ij}bm e'_j

于是：

begin{align} sum_{i,j}T'_{ij}bm e'_ibm {e'}_j^T&=sum_{k,l}T_{k,l}bm e_kbm e_l^T\ &=sum_{k,l}T_{kl}left(sum_{i}R_{ki}bm e'_iright)left(sum_{j}R_{jl}bm {e'}^T_jright) end{align}

交换求和次序，可写成：

sum_{i,j}T'_{ij}bm e'_ibm {e'}_j^T=sum_{i,j}left(sum_{k,l}T_{kl}R_{ki}R_{jl}right)bm e'_ibm {e'}^T_j

这就意味着：

T'_{ij}=sum_{k,l}T_{kl}R_{ki}R_{jl}

写成矩阵形式就是：

T'=R^TTR

这就是一对天造地设的合同矩阵，它是同一个双线性型的矩阵在不同坐标基底下的表现。

当然，很多同学可能会迷惑：这个双线性形到底意味着什么？

其实它在物理学中还对应一个类似的量，叫做张量 (Tensor)。

它其实是相对论最重要的语言，狭义相对论中那个重要假设：

所有惯性参考系下物理定律具有相同形式

只有通过张量才能得到最透彻的理解，因为不同惯性参考系间物理定律表现形式的变化关系，就是通过张量的合同变换来描述的。

而广义相对论中，时空弯曲和质量能量的分布，更是离不开张量的表述。

有兴趣的同学可以瞧瞧我的科普文：