合同矩阵一定正定吗(正定矩阵的性质：可同时合同对角化)

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命题：若矩阵 A ， B 都是n阶正定矩阵，则 A ， B 可同时合同对角化

Proof:

由于 A 是正定矩阵，则有

A=C^TC,|C|ne0

等价于

{C^{-1}}^TAC^{-1}=I …… (*)

那么对于正定矩阵 B ，对其进行如下操作后

{C^{-1}}^TBC^{-1}

由于可逆线性替换保持二次型的正定性[1]，故合同变换保持正定矩阵的正定性，则该矩阵仍然是一个正定矩阵

那么由于正定矩阵是一个实对称矩阵，故存在n阶正交矩阵 D ，使得 D^{-1}bigl( {C^{-1}}^TBC^{-1} bigl)D=D^Tbigl( {C^{-1}}^TBC^{-1} bigl)D=Lambda

其中 Lambda 是由 {C^{-1}}^TBC^{-1} 的特征值组成的对角矩阵

即

D^{-1}bigl( {C^{-1}}^TBC^{-1} bigl)D=D^Tbigl( {C^{-1}}^TBC^{-1} bigl)D=bigl(C^{-1}Dbigl) ^{T}Bbigl(C^{-1}Dbigl)=begin{pmatrix} lambda_1I_{k_1}\ &lambda_2I_{k_2}\ &&lambda_3I_{k_3}\ &&&ddots \ &&&&lambda_rI_{k_r} end{pmatrix}[2]

那么对于 (*) 式，由于 D 是正交矩阵，故有

D^{T}{C^{-1}}^TAC^{-1}D=D^TID=D^TD=I

即

bigl(D^{T}{C^{-1}}^Tbigl)Abigl(C^{-1}Dbigl)=bigl(C^{-1}Dbigl) ^{T}Abigl(C^{-1}Dbigl)=I

故令 P=C^{-1}D,|P|ne0 则有

P^TAP=I 且 P^TBP=begin{pmatrix} lambda_1I_{k_1}\ &lambda_2I_{k_2}\ &&lambda_3I_{k_3}\ &&&ddots\ &&&&lambda_rI_{k_r} end{pmatrix}

证毕！

例题：设 A,B 都是n阶正定矩阵，证明 det(lambda A-B)=0 的根都是正实数

[3]

Proof:

由上述命题知，存在可逆矩阵 P 使得

P^TAP=A_1,or,A={P^{-1}}^TA_1P^{-1}

P^TBP=B_1,orB={P^{-1}}^TB_1P^{-1}

其中 A_1,B_1 是对角矩阵，对角元分别是 a_1,a_2,……,a_n,b_1,b_2,……,b_n

故有

即

|lambda A_1-B_1|=0

则只需要满足 lambda a_k-b_k=0(k=1,2,3,……,n) 即可

由于 A,B 都是正定矩阵，故 a_1,a_2,……,a_n,b_1,b_2,……,b_n>0

故 lambda=frac{a_k}{b_k} >0(k=1,2,3,……,n)

证毕！

[4]

更进一步的定理