伴随矩阵只能用定义求吗 一文掌握矩阵与其伴随矩阵
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定义
矩阵A=left[begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}\end{array}right]\
将矩阵A的元素A_{ij}所在的行和列划去后,剩下的(n-1)^2个元素按照原来的顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式称为a_{ij}的余子式,记为M_{ij}
称A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}为元素a_{ij}的代数余子式
由矩阵A的各元素的代数余子式组成的如下矩阵:
A^ast=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&cdots&A_{1n}\A_{21}&A_{22}&cdots&A_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{n1}&A_{n2}&cdots&A_{nn}\end{array}right]\
称为矩阵A的伴随矩阵
矩阵与其伴随矩阵的秩
设A为域F上的n阶方阵,A^ast为其伴随矩阵。证明:
r(A^ast)=begin{cases}n,quad r(A)=n\1,quad r(A)=n-1\0,quad r(A)< n-1end{cases}\
证明:当r(A)=n时,由
Acdot A^ast=|A|cdot E\
易知:r(A^ast)=n
当r(A)=n-1时,
Acdot A^ast=|A|cdot E=0\
从而A^ast的列向量为AX=0的解。又r(A)=n-1,所以AX=0的解空间维数1,于是r(A^ast)leq 1
注意到A^ast中元素为A的n-1阶子式,由r(A)=n-1知A^ast不是零矩阵,即r(A^ast)geq 1,所以r(A^ast)=1
当r(A)< n-1时,由A^ast定义可知:A^ast=0
矩阵伴随矩阵的伴随矩阵
设A为域F上的n阶方阵,A^ast为其伴随矩阵。证明:
(A^ast)^ast=begin{cases}A,quad n=2\|A|^{n-2}A,quad n>2end{cases}\
证明(方法一):若|A|neq 0,即r(A)=n时
A^astcdot(A^ast)^ast=|A^ast|cdot E\
而|A^ast|=|A|^{n-1},所以
begin{aligned}(A^ast)^astcdot A^ast &=|A|^{n-1}cdot E\(A^ast)^astcdot A^astcdot A &=|A|^{n-1}cdot A\(A^ast)^astcdot |A| &=|A|^{n-1}cdot A\(A^ast)^ast &=|A|^{n-2}cdot A\end{aligned}\
由r(A)=n-1,有r(A^ast)=1< n-1,所以r[(A^ast)^ast]=0,自然有(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A
由r(A)< n-1,有r(A^ast)=0,所以r[(A^ast)^ast]=0,所以有(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A
综上所述n>2时,(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A
而当n=2时,可设A=left[begin{array}{cc}a&b\c&dend{array}right],于是
begin{aligned}A^ast &=left[begin{array}{cc}d&-b\-c&aend{array}right]\(A^ast)^ast &=left[begin{array}{cc}a&b\c&dend{array}right]=Aend{aligned}\
证明(方法二):此处仅讨论n>2的情形。
若|A|neq 0,则由
(A^ast)cdot A=|A|cdot E\A^astcdot(A^ast)^ast =|A^ast|cdot E
可知(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A
若|A|=0,不妨设r(A)=r。存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=left[begin{array}{cc}I_r&0\0&0end{array}right]
对于矩阵left[begin{array}{cc}I_r&0\0&0end{array}right],注意到它的阶大于2,那么它的伴随矩阵的秩leq 1< n-1,因此它的伴随的伴随的秩必然为零。即
[(PAQ)^ast]^ast =0\
于是(P^ast)^ast(A^ast)^ast(Q^ast)^ast =0。而P,Q可逆,所以(P^ast)^ast,(Q^ast)^ast仍可逆,于是(A^ast)^ast =0
显然此时有(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A;综上所述(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A
伴随矩阵的性质
A可逆当且仅当A^ast可逆
如果A可逆,则A^ast=|A|cdot A^{-1}
|A^ast|=|A|^{n-1}
(kA)^ast=k^{n-1}A^ast
若A可逆,则(A^{-1})=(A^ast)^{-1}
(A^T)^ast=(A^ast)^T
(AB)^ast=B^ast A^ast
性质的证明,可通过伴随矩阵的定义和式子Acdot A^ast=|A|cdot E来证明。这里就不全部一一展开了。
证明:若A可逆,则(A^{-1})=(A^ast)^{-1}
分析:由(A^{-1})cdot(A^{-1})^ast=|A^{-1}|cdot E,得:(A^{-1})^ast=|A^{-1}|cdot A
而
begin{aligned}A^astcdot(A^ast)^{-1}&=E\Acdot A^astcdot(A^ast)^{-1}&=A\|A|cdot(A^ast)^{-1}&=A\(A^ast)^{-1}&=frac{A}{|A|}end{aligned}\
所以(A^{-1})=(A^ast)^{-1}
证明:(A^T)^ast=(A^ast)^T
分析:因A^ast=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&cdots&A_{1n}\A_{21}&A_{22}&cdots&A_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{n1}&A_{n2}&cdots&A_{nn}\end{array}right],所以(A^ast)^T=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&cdots&A_{n1}\A_{12}&A_{22}&cdots&A_{n2}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{1n}&A_{2n}&cdots&A_{nn}\end{array}right]\
而A^T=left[begin{array}{cccc}a_{11}&a_{21}&cdots&a_{n1}\a_{12}&a_{22}&cdots&a_{n2}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{1n}&a_{2n}&cdots&a_{nn}\end{array}right],所以(A^T)^ast=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&cdots&A_{n1}\A_{12}&A_{22}&cdots&A_{n2}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{1n}&A_{2n}&cdots&A_{nn}\end{array}right]
所以(A^T)^ast=(A^ast)^T