伴随矩阵只能用定义求吗一文掌握矩阵与其伴随矩阵

2024-01-08 12:40:00 来源 : haohaofanwen.com 投稿人 : admin

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伴随矩阵只能用定义求吗

定义

矩阵A=left[begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn}\end{array}right]\

将矩阵A的元素A_{ij}所在的行和列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的顺序组成的n-1阶矩阵所确定的行列式称为a_{ij}的余子式，记为M_{ij}

称A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}为元素a_{ij}的代数余子式

由矩阵A的各元素的代数余子式组成的如下矩阵：

A^ast=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&cdots&A_{1n}\A_{21}&A_{22}&cdots&A_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{n1}&A_{n2}&cdots&A_{nn}\end{array}right]\

称为矩阵A的伴随矩阵

矩阵与其伴随矩阵的秩

设A为域F上的n阶方阵，A^ast为其伴随矩阵。证明：

r(A^ast)=begin{cases}n,quad r(A)=n\1,quad r(A)=n-1\0,quad r(A)< n-1end{cases}\

证明：当r(A)=n时，由

Acdot A^ast=|A|cdot E\

易知：r(A^ast)=n

当r(A)=n-1时，

Acdot A^ast=|A|cdot E=0\

从而A^ast的列向量为AX=0的解。又r(A)=n-1，所以AX=0的解空间维数1，于是r(A^ast)leq 1

注意到A^ast中元素为A的n-1阶子式，由r(A)=n-1知A^ast不是零矩阵，即r(A^ast)geq 1，所以r(A^ast)=1

当r(A)< n-1时，由A^ast定义可知：A^ast=0

矩阵伴随矩阵的伴随矩阵

设A为域F上的n阶方阵，A^ast为其伴随矩阵。证明：

(A^ast)^ast=begin{cases}A,quad n=2\|A|^{n-2}A,quad n>2end{cases}\

证明(方法一)：若|A|neq 0，即r(A)=n时

A^astcdot(A^ast)^ast=|A^ast|cdot E\

而|A^ast|=|A|^{n-1}，所以

begin{aligned}(A^ast)^astcdot A^ast &=|A|^{n-1}cdot E\(A^ast)^astcdot A^astcdot A &=|A|^{n-1}cdot A\(A^ast)^astcdot |A| &=|A|^{n-1}cdot A\(A^ast)^ast &=|A|^{n-2}cdot A\end{aligned}\

由r(A)=n-1，有r(A^ast)=1< n-1，所以r[(A^ast)^ast]=0，自然有(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A

由r(A)< n-1，有r(A^ast)=0，所以r[(A^ast)^ast]=0，所以有(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A

综上所述n>2时，(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A

而当n=2时，可设A=left[begin{array}{cc}a&b\c&dend{array}right]，于是

begin{aligned}A^ast &=left[begin{array}{cc}d&-b\-c&aend{array}right]\(A^ast)^ast &=left[begin{array}{cc}a&b\c&dend{array}right]=Aend{aligned}\

证明(方法二)：此处仅讨论n>2的情形。

若|A|neq 0，则由

(A^ast)cdot A=|A|cdot E\A^astcdot(A^ast)^ast =|A^ast|cdot E

可知(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A

若|A|=0，不妨设r(A)=r。存在可逆矩阵P,Q使得PAQ=left[begin{array}{cc}I_r&0\0&0end{array}right]

对于矩阵left[begin{array}{cc}I_r&0\0&0end{array}right]，注意到它的阶大于2，那么它的伴随矩阵的秩leq 1< n-1，因此它的伴随的伴随的秩必然为零。即

[(PAQ)^ast]^ast =0\

于是(P^ast)^ast(A^ast)^ast(Q^ast)^ast =0。而P,Q可逆，所以(P^ast)^ast,(Q^ast)^ast仍可逆，于是(A^ast)^ast =0

显然此时有(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A；综上所述(A^ast)^ast=|A|^{n-2}cdot A

伴随矩阵的性质

A可逆当且仅当A^ast可逆

如果A可逆，则A^ast=|A|cdot A^{-1}

|A^ast|=|A|^{n-1}

(kA)^ast=k^{n-1}A^ast

若A可逆，则(A^{-1})=(A^ast)^{-1}

(A^T)^ast=(A^ast)^T

(AB)^ast=B^ast A^ast

性质的证明，可通过伴随矩阵的定义和式子Acdot A^ast=|A|cdot E来证明。这里就不全部一一展开了。

证明：若A可逆，则(A^{-1})=(A^ast)^{-1}

分析：由(A^{-1})cdot(A^{-1})^ast=|A^{-1}|cdot E，得：(A^{-1})^ast=|A^{-1}|cdot A

而

begin{aligned}A^astcdot(A^ast)^{-1}&=E\Acdot A^astcdot(A^ast)^{-1}&=A\|A|cdot(A^ast)^{-1}&=A\(A^ast)^{-1}&=frac{A}{|A|}end{aligned}\

所以(A^{-1})=(A^ast)^{-1}

证明：(A^T)^ast=(A^ast)^T

分析：因A^ast=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{12}&cdots&A_{1n}\A_{21}&A_{22}&cdots&A_{2n}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{n1}&A_{n2}&cdots&A_{nn}\end{array}right]，所以(A^ast)^T=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&cdots&A_{n1}\A_{12}&A_{22}&cdots&A_{n2}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{1n}&A_{2n}&cdots&A_{nn}\end{array}right]\

而A^T=left[begin{array}{cccc}a_{11}&a_{21}&cdots&a_{n1}\a_{12}&a_{22}&cdots&a_{n2}\vdots&vdots&ddots&vdots\a_{1n}&a_{2n}&cdots&a_{nn}\end{array}right]，所以(A^T)^ast=left[begin{array}{cccc}A_{11}&A_{21}&cdots&A_{n1}\A_{12}&A_{22}&cdots&A_{n2}\vdots&vdots&ddots&vdots\A_{1n}&A_{2n}&cdots&A_{nn}\end{array}right]

所以(A^T)^ast=(A^ast)^T