等价相似与合同 矩阵等价、相似、合同的区别与联系
2024-01-24 06:03:00
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矩阵等价、相似、合同的区别与联系
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摘 要：矩阵的等价、相似与合同在线性代数课程教学中占据非常关键的地位，但是学生学习过程中对这一部分的内容往往很难准确把握。为此，本文针对它们之间的区别和联系进行探讨，为学生对这些概念的理解提供一定的帮助。
中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2021.04.065
《线性代数》是大学数学中的一门非常重要的必修基础课程。学好这一门课程，不仅有利于对学生的理解和逻辑推理能力的培养与训练，而且对其后续专业课程的学习也发挥着极其重要的支撑作用。
本文将就线性代数课程矩阵之间的非常重要的关系：矩阵的等价、相似与合同进行讨论，着重探讨三者之间的区别与联系，为学生对这些概念的理解提供一定的支持。
1 基本概念
矩阵等价定义：假定矩阵 A 和 B 为同型矩阵，若存在可逆的矩阵 P，Q，满足 PAQ=B，那么称 A 和 B 是等价的。
矩阵相似定义：假定矩阵 A 和 B 均为 n 阶方阵，若存在可逆的矩阵 P，满足 P-1AP=B，那么称 A 和 B 是相似的。
矩阵合同定义：假定矩阵 A 和 B 均为 n 阶方阵，若存在可逆的矩阵 P，满足 PTAP=B，那么称 A 和 B 是合同的。
2 区别和联系
（1）矩阵的等价只是要求矩阵 A 和 B 是具有相同的行和列的矩阵，不要求必须是方形矩阵，但是相似和合同则要求矩阵 A 和 B 必定是同阶的方形矩阵。
（2）等价的矩阵、相似的矩阵以及合同的矩阵均是同可逆或者同为不可逆。
