考研线性代数哪个老师讲的比较好【精选】

2023-03-05 03:22:00 来源 : haohaofanwen.com 投稿人 : admin

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如何证两个矩阵合同

一.矩阵的合同关系的定义

A,B为两个n阶对称方阵,若存在一个可逆方阵,使得

C'AC=B(C'代表的是C的转置矩阵)

称A与B是合同的。

任意一实对称方阵都合同与一个对角方阵。

二.合同对角化的方法(初等行列变化)

想要求出矩阵C,可以构造(A,E)矩阵当把它A转化成了对角矩阵Λ,E就变成了C',这样就求出了矩阵C。

注:(A,E)需要就行成对的初等行变化和初等列变化,例如一次变化c1+c2,还需要r1+r2(第二列加到第一列,第二行加到第一行,行变化和列变化的顺序不影响最后的结果)。

其实很容易发现列变化对初始的E矩阵其实是无效的,也就是说E只进行了初等行变化,也就是相当于左乘了矩阵,一次列变化就相当于乘以了一个初等矩阵,这一系列初等矩阵的乘积的结果就是C',也就是为什么最后当A矩阵变成对角矩阵的时候,E矩阵就已经变成了C'(A是既左乘了又右乘了,而E就是行变化相当于左乘,而左乘的结果为C',所以E变成了C')。

拓展的一点:

三.一些做题的思路

当题目给出A与B合同,也就是存在可逆矩阵C,C'AC=B ,给出A,B矩阵让你求出可逆矩阵C。

(1)如果矩阵A和矩阵B大致相似,直接对矩阵(A,E)进行成对的初等行变化和初等列变化使得初始A矩阵变成B矩阵,那么初始的单位矩阵E就变成了C'。

(2)当发现不好直接把A变成B的时候,就可以借助对角矩阵Λ了,A与B合同的充分必要条件是pA=pB,qA=qB(pA,pB分别为A的正惯性系数,B的正惯性系数,qA,qB分别为A的负惯性系数,B的负惯性系数)也就是A与B一定合同与同一个对角矩阵Λ。

三.一些坑(使得A﹑B合同的逆矩阵C是唯一的吗)

C'AC=B

其中的可逆矩阵C不是唯一的,也就是如果一道题让你算可逆矩阵C,你发现你的答案与参考答案不一致并不一定是你的答案错了,我想这也是考研为什么没看到考研要求算合同变化中的可逆矩阵C了,答案不一致不知道你到底是否正确,必须按照你的思路算一遍。

一个例子证明它不是唯一的:

A =     2     0     1     0     2    -1     1    -1     1B =     0     0     1     0     1    -1     1     1    -2B'*A*B =     1     0     0     0     1     0     0     0     0B1 =                                      0.7071         0   -0.5000       其中的0.7071就是√2/2         0    0.7071    0.5000         0    0.7071    1.5000B1'*A*B1=    1.0000         0         0         0    1.0000         0         0         0         0


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