线性代数——矩阵相似、合同、等价总结

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线性代数——矩阵相似、合同

矩阵相似：P − 1 A P = B ， 记 为 A ∽ B ， 相 似 变 换 不 改 变 矩 阵 特 征 值 P^{-1}AP = B，记为A∽B，相似变换不改变矩阵特征值 P−1

矩阵合同：Q T A Q = B , 记 为 A ≃ B ， 合 同 变 换 不 改 变 矩 阵 的 惯 性 指 数 Q^TAQ = B,记为A≃B，合同变换不改变矩阵的惯性指数 QT

矩阵等价：P − 1 A Q = B , 记 为 A ≅ B ， 等 价 变 换 是 根 据 初 等 行 列 变 换 得 到 的 ， 要 求 P , Q 可 逆 P^{-1}AQ = B,记为Acong B，等价变换是根据初等行列变换得到的，要求P,Q可逆 P−1

相似变换的步骤：

求特征值→求对应的特征向量→得到变换矩阵P→ P − 1 A P = B P^{-1}AP = B P−1B

正交相似变换的步骤：

求特征值→求对应的特征向量→得到变换矩阵P→P正交单位化为Q→ Q T A Q = B Q^{T}AQ = B QTB

正 交 单 位 化 使 得 P 变 为 正 交 矩 阵 Q , 即 Q T = Q − 1 , 所 以 这 还 是 一 个 相 似 变 换 , 同 样 也 是 一 种 合 同 变 换 。 color {blue}正交单位化使得P变为正交矩阵Q,即Q^T =Q^{-1},所以这还是一个相似变换,同样也是一种合同变换。 QTQ−1

合同变换的步骤：

相似变换只有一种，但合同变换有很多种，因为只要保证惯性指数不变即可。常见的方法是正交相似变换或者配方法。

处理问题的思路

在化二次型为标准型时，有两种方法1.正交相似变换，标准型唯一2.配方法，标准型不唯一；在化二次型为规范型时，可以用相似变换求出惯性指数，直接写出规范型，但此时写不出变换阵，如果要求变换阵，需要用配方法，用 y 1 , y 2 , y 3 表 示 x 1 , x 2 , x 3 求 得 x = Q y y_1,y_2,y_3表示x_1,x_2,x_3求得x= Qy y1​,y2​,y3​表示x1​,x2​,x3​

对于特殊的实对称矩阵，它的特征向量是相互正交的，只需要单位化就可以求得合同变换阵