矩阵的初等变换与线性方程组思维导图

2023-12-20 06:44:00 来源 : haohaofanwen.com 投稿人 : admin

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用初等变换求矩阵

矩阵的行初等变换

（1）对调两行

（2）以数 kne 0 乘以一行所有元素

（3）把某一行的 k 倍加到另一行对应元素上去

矩阵的列初等变换

与行初等变换相同。

矩阵的行初等变换与列初等变换统称为初等变换。

如果矩阵 bold A 经过有限次行初等变换变成 bold B ，就称矩阵 bold A 与 bold B 行等价，记作 bold A _{sim}^{r} bold B ；如果矩阵 bold A 经过有限次列初等变换变成 bold B ，就称矩阵 bold A 与 bold B 列等价，记作 bold A _{sim}^{c} bold B ；如果矩阵 bold A 经过有限次初等变换变成 bold B ，就称矩阵 bold A 与 bold B 等价，记作 bold A sim bold B 。

（等价也称作相抵。）

矩阵的等价满足以下性质：

1、反身性： bold A sim bold A 。

2、对称性：若 bold A sim bold B ，则 bold B sim bold A 。

3、传递性：若 bold A sim bold B ，且 bold B sim bold C ，则 bold A sim bold C 。

利用初等行变换解方程组

解方程组 bold A bold x = bold b 。

其中：

bold A = left[ begin{array}{r} 2 & -1 & -1 & 1 \ 1 & 1 & -2 & 1 \ 4 & -6 & 2 & -2 \ 3 & 6 & -9 & 7 \ end{array} right]

bold b = left[ begin{array} 2 \ 4 \ 4 \ 9 end{array} right]

增广矩阵为：

bold B = left[ begin{array}{r} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \ end{array} right]

使用初等行变换化成行阶梯矩阵：

begin{array} r_1leftrightarrow r_2 \ r_3div 2 end{array} sim bold B_1 = left[ begin{array}{r} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \ 2 & -3 & 1 & -1 & 2 \ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \ end{array} right]

begin{array} r_2 - r_3 \ r_3 - 2r_1 \ r_4 - 3r_1 end{array} sim bold B_2 = left[ begin{array}{r} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \ 0 & 2 & -2 & 2 & 0 \ 0 & -5 & 5 & -3 & -6 \ 0 & 3 & -3 & 4 & -3 \ end{array} right]

begin{array} r_2 div 2 \ r_3 + 5r_2 \ r_4 - 3r_2 end{array} sim bold B_3 = left[ begin{array}{r} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 2 & -6 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \ end{array} right]

begin{array} r_3 div 2 \ r_4 - r_3 \ end{array} sim bold B_4 = left[ begin{array}{r} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array} right]

begin{array} r_1 - r_2 \ r_2 - r_3 \ end{array} sim bold B_5 = left[ begin{array}{r} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array} right]

bold B_5 称为行最简形（非零行的第一个非零元素为 1 ），对应的方程组为：

left{ begin{array}{r} x_1 - x_3 & = & 4 \ x_2 - x_3 & = & 3 \ x_4 & = & -3 end{array} right.

x_3 可取任意常数，令 x_3 = c ，得：

bold x = left[ begin{array} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end{array} right] = left[ begin{array}{c} c+4 \ c+3 \ c \ -3 end{array} right] = cleft[ begin{array} 1 \ 1 \ 1 \ 0 end{array} right] + left[ begin{array}{r} 4 \ 3 \ 0 \ -3 end{array} right]

标准形

对行最简行使用列初等变换，可变成一种更简单的矩阵，称为标准形（左上角是一个单位阵）：

bold B_5 = left[ begin{array}{r} 1 & 0 & -1 & 0 & 4 \ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array} right]

begin{array} c_3 leftrightarrow c_4 \ c_4 + c_1 + c_2 \ c_5 - 4c_1 - 3c_2 + 3c_3 end{array} sim bold F = left[ begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array} right]

bold F = left[ begin{array}{l} bold I_r & bold 0 \ bold 0 & bold 0 \ end{array} right]_{mtimes n}

此标准形完全由 m，n，r 三个数完全确定。

任何矩阵都可以通过初等变换变成标准形，可以通过归纳法证明：

任何矩阵都可以通过行初等变换消掉线性相关行，成为有 r 行线性无关行（非零行）的矩阵；然后如果第 1 行第 1 个元素不为 0 ，或者将第 1 个元素不为 0 的行交换到第 1 行，然后将第 1 行除以第 1 行第 1 个元素，再将其它非零行减去其第 1 个元素倍的第 1 行，让其第一个元素化为 0 。

如果第 1 列都是 0 ，我们就忽略第 1 列，剩下的做上面相同的操作，以此类推，从而第 1 行化成第 1 个非零元素是 1 的行。

然后忽略第 1 行，第 2 行做和上面相同的操作，以此类推，直到第 r 行，从而得到 r 行第 1 个非零元素是 1 的行。

上面的操作都是行初等变换，对于 r 行线性无关向量不改变线性相关性，依然线性无关。因为上述方式必能化成行阶梯矩阵，并且必是 r 行，所以必得到 r 行阶梯矩阵。

然后我们做列初等变换，找到第 2 行第 1 个非零元素是 1 的元素所在列（设为 q 列），然后减去第 1 行第 1 个非零元素是 1 的元素所在列（设为 p 列）的 q 列的第 1 个元素倍，使 q 列仅第 2 个元素是 1 ，其余全是 0 ，从而 q 列与 p 列正交。

然后第 3 行第 1 个非零元素是 1 的元素所在列（设为 k 列）减去 p 列的倍数和 q 列的倍数，从而 k 列与 p 列和 q 列两两正交，以此类推，必能得到 r 列两两正交的列向量，其它列都可以通过 r 列正交向量消掉。

然后将 r 列列向量依次移到第 1 列，第 2 列，…，第 r 列。

所以必能得到包含 bold I_r 的标准形 bold F = left[ begin{array}{l} bold I_r & bold 0 \ bold 0 & bold 0 \ end{array} right]_{mtimes n} 。

还可以根据其几何性质直观的理解，初等变换就是对超平行多面体（平行四边形，平行六面体等）的剪切变换与缩放变换（还涉及向量的排序问题），必然可以将其变成单位超立方体（正方形，立方体等）。

例如，有矩阵 bold A = left[ begin{array}{r} 2 & -1 & -1 \ -2 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1 \ end{array} right] 通过行向量剪切变换化成行线性无关形式， bold A = left[ begin{array}{r} 3 & -1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ end{array} right] ，这时两个行向量构成平行四边形面积可以通过外积求得：

bold n=left[ begin{array}{c} -1times 1-0times 0 \ 0times 1-3times 1 \ 3times0-(-1times1) end{array} right] = left[ begin{array}{c} -1\ -3 \ 1 end{array} right] ， S = ||bold n|| = sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 1^2} = sqrt{11} ，

而它的兄弟平行四边形是三个在同一平面内的三个向量的两两组合：

bold n_1=left[ begin{array}{c} 0 \ 0 \ 3times0-(-1times1) end{array} right] = left[ begin{array}{c} 0\ 0 \ 1 end{array} right] ， S_1 = 1 ,

bold n_2=left[ begin{array}{c} 0 \ 0 \ 0times1-3times1 end{array} right] = left[ begin{array}{c} 0\ 0 \ -3 end{array} right] ， S_2 = 3 ，

bold n_3=left[ begin{array}{c} 0 \ 0 \ -1times 1-0times 0 end{array} right] = left[ begin{array}{c} 0\ 0 \ -1 end{array} right] ， S_3 = 1 。

三个面积刚好对应 S 在三个坐标平面的投影，而 S 不为零，所以 S_1 ， S_2 ， S_3 不可同时为零，所以必有一组线性无关列向量，可以作为此平面的基向量（所以列维数必是 2 ），然后列向量剪切缩放消去其它向量，并正交化就得到标准形 bold F = left[ begin{array}{l} bold I_r & bold 0 \ bold 0 & bold 0 \ end{array} right]_{mtimes n} 。

定理

设 bold A 和 bold B 是 m times n 矩阵，那么：

（1） bold A 可以通过行初等变换变成 bold B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 bold P ，使 bold P bold A = bold B ；

（2） bold A 可以通过列初等变换变成 bold B 的充分必要条件是存在 n 阶可逆矩阵 bold Q ，使 bold A bold Q = bold B ；

（3） bold A 可以通过初等变换变成 bold B 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 bold P 及 n 阶可逆矩阵 bold Q ，使 bold P bold A bold Q = bold B 。

证明

为了证明定理我们引入初等矩阵的概念。

定义：

由单位阵 bold I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等变换对应三种初等矩阵。

（1）把单位阵的 i，j 两行（列）互换，得初等矩阵：

bold I(r_i leftrightarrow r_j) =bold I(c_i leftrightarrow c_j) = left[ begin{array}{c} 1 & \ & ddots & \ & & 0 & & 1 \ & & & ddots \ & & 1 & &0 \ & & & & & ddots \ & & & & & & 1 \ end{array} right]

用 m 阶初等矩阵 bold I_m(r_i leftrightarrow r_j) 左乘矩阵 bold A_{mtimes n} ，得：

bold I_m(r_i leftrightarrow r_j) bold A = left[ begin{array}{c} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & & vdots \ a_{j1} & cdots & a_{jn} \ vdots & & vdots \ a_{i1} & cdots & a_{in} \ vdots & & vdots \ a_{m1} & cdots & a_{mn} \ end{array} right]

相当于 i，j 行互换。同理用 n 阶初等矩阵 bold I_n(r_i leftrightarrow r_j) 右乘矩阵 bold A_{mtimes n} ，相当于 i，j 列互换。

（2）以数 k ne 0 乘单位矩阵的第 i 行（列），得初等矩阵：

bold I(k r_i) =bold I(k c_i) = left[ begin{array}{c} 1 & \ & ddots & \ & & 1 & & \ & & & k \ & & & &1 \ & & & & & ddots \ & & & & & & 1 \ end{array} right]

用 m 阶初等矩阵 bold I_m(k r_i) 左乘矩阵 bold A_{mtimes n} ，相当于以数 k 乘矩阵的第 i 行；用 n 阶初等矩阵 bold I_n(k r_i) 右乘矩阵 bold A_{mtimes n} ，相当于以数 k 乘矩阵的第 i 列。

（3）以数 k ne 0 乘单位矩阵的第 j 行，加到第 i 行（或以数 k ne 0 乘单位矩阵的第 i 列，加到第 j 列），得初等矩阵：

bold I(r_i+k r_j) =bold I(c_j+k c_i) = left[ begin{array}{c} 1 & \ & ddots & \ & & 1 & & k \ & & & ddots \ & & & &1 \ & & & & & ddots \ & & & & & & 1 \ end{array} right]

用 m 阶初等矩阵 bold I(r_i+kr_j) 左乘矩阵 bold A_{mtimes n} ，相当于以数 k 乘矩阵的第 j 行加到第 i 行；用 n 阶初等矩阵 bold I_n(c_j+kc_i) 右乘矩阵 bold A_{mtimes n} ，相当于以数 k 乘矩阵的第 i 列加到第 j 列。

显然初等矩阵都是可逆的，且逆阵是同一类型的初等矩阵：

bold I(r_i leftrightarrow r_j) ^{-1} = bold I(r_i leftrightarrow r_j)

bold I(k r_i)^{-1} = bold I(frac{1}{k} r_i)

bold I(r_i+kr_j)^{-1} = bold I(r_i-kr_j)

方阵 bold A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 bold P_1 ，bold P_2 ，…，bold P_l ，使 bold A = bold P_1 bold P_2 dots bold P_l 。

证明：

充分性：

因为初等矩阵可逆，有限个初等矩阵乘积仍可逆，所以 bold A 可逆。

必要性：

任何矩阵都可以通过其标准型经过有限次初等变换还原回其本身，即：

bold A = bold P_1 bold P_2… bold Fdots bold P_l

已知 bold A 可逆，则 bold P_1 ，bold P_2 ，…，bold P_l 和 bold F 必须都可逆，所以 bold F 必须是单位阵，即：

bold F = bold I

所以可逆矩阵 bold A 必然可以分解成 bold P_1 bold P_2 dots bold P_l 。

由上可知：

定理（1）中，若想 bold A 经过有限次初等变换变成 bold B ，即存在有限个 m 阶矩阵 bold P_1 ，bold P_2 ，…，bold P_l ，使 bold P_1 bold P_2 dots bold P_lbold A = bold B ，亦即存在 m 阶矩阵 bold P 使 bold Pbold A = bold B 。

同理可证定理（2）（3）。