矩阵的相似和合同 回首掏之——相似矩阵、合同矩阵、正交矩阵、正定矩阵

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相似矩阵(similar matrix)

不同基下的同一个线性变换

两个ntimes n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个ntimes n的可逆矩阵P，使得：

B=P^{-1}AP\

P称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。

为什么说不同基下的同一个线性变换？

上下坐标系采用的是不同的基，可以将P理解成先对B所在坐标系的基做一次变换得到A的坐标系，再对绿点向量做一次A的线性变换得到棕点，最后再对A所在坐标系的基做一次线性变换P^{-1}得到B坐标系下的棕点。

相似矩阵可视化解释

合同矩阵(congruent matrix)

同一个二次曲线，在不同基下需要用不同的二次型矩阵表示。这两个二次型矩阵就称为合同矩阵

两个ntimes n矩阵A与B为合同矩阵当且仅当存在一个ntimes n的可逆矩阵P，使得：

B=P^TAP\

正交矩阵(orthogonal matrix)

转置矩阵等于逆矩阵的方块实矩阵

正交矩阵的行向量组和列向量组均为标准正交向量

Q^T=Q^{-1}Longleftrightarrow Q^TQ=QQ^T=I\

二次型(quadratic form)

关于一些变量的二次齐次多项式

e.g.

4x_1^2+2x_1x_2-3x_2^2

正定矩阵(positive-definite matrix)

实对称矩阵A是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量bf x，{bf x}^TA{bf x}>0

定义 设二次型f(x)={bf x}^TA{bf x}，如果对任何{bf x}ne{bf 0} 都有

f(x)={bf x}^TA{bf x}>0\

则称f为正定二次型，并称对称矩阵A为正定矩阵。

负定矩阵(negative-definite matrix)

当且仅当对于任何{bf x}ne{bf 0}都有{bf x}^TA{bf x}<0

半正定矩阵(positive semi-definite matrix)

当且仅当对于任何{bf x}ne{bf 0}都有{bf x}^TA{bf x}geqslant0

半负定矩阵(negative semi-definite matrix)

当且仅当对于任何{bf x}ne{bf 0}都有{bf x}^TA{bf x}leqslant0