矩阵 合同 相似 矩阵相似、等价、正交、合同

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一、相似矩阵

① Asim B ， P^{-1}AP=B ，有：

Rightarrowf(A)sim f(B) ， A^{T}sim B^{T} , A^{-1}sim B^{-1} , A^{*}sim B^{*} （共用一个 P ）

Rightarrowf(A)+kA^{ast}+lA^{-1} sim f(B)+kB^{ast}+lB^{-1}

( A^{T} 不能与其他混合，但是单个自己玩可以： f(A^{T})sim f(B^{T})，eg： A^{T}+Esim B^{T}+E )

Rightarrow 相似不变量： |A|= |B| , |lambda E-A|=|lambda E-B| , r(A)=r(B) , tr(A)=tr(B)

Rightarrow 若 A 可逆，则 ABsim BA ；若 Asim B ，Csim D，则 (_{0}^{A}{_{C}^{0}})sim (_{0}^{B}{_{D}^{0}}) ；

二、对角化

1.Asim wedgeLeftrightarrow AP=Pwedge（联想求特征值、特征向量的表达式）

LeftrightarrowA 恰有 n 个线性无关的特征向量；

LeftrightarrowA 的每个 k 重特征值，都有 k 个无关特征向量；

LeftrightarrowA 的每个 k 重特征值 lambda ， r(lambda E-A)=n-k ；

2. n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值 RightarrowAsim wedge ；（n个不同）

3.若 A的特征值为 k（ n重），但 Ane kE，则 A不可对角化；（n个相同）

4.n 阶矩阵 A是实对称矩阵 RightarrowAsim wedge ；（实对称矩阵必能对角化）

5.n 阶矩阵 A，若 f(A)=0 且 f(A) 的因式分解结果只有单因式RightarrowAsim wedge

(A-lambda_{1}E)(A-lambda_{2}E)=0RightarrowAsim wedge ( lambda_{1}≠lambda_{2} )

6.若 A^{k}=0 且 Ane 0 ，则 A 不可对角化；

7.若 A=alphabeta^{T} 秩为1，则当 tr(A)ne 0 时， A 可对角化；当 tr(A)=0 时， A 不可对角化。

当得出 lambda_{1}lambda_{2}<0 异号时，就说明有两个不同的特征值了

易错题：

三、矩阵等价

就是 A 能做初等变换成 B （初等变换：倍加、倍乘、行列交换）

秩相同即可

四、正交矩阵（最牛矩阵）

A^{T}A=ELeftrightarrowA^{-1}=A^{T}

Rightarrow |A|=1 or -1

Rightarrow 特征值必为1或-1

Rightarrow 则A^T,A^{*},A^{-1} 为正交阵；

Rightarrow 若 B 为正交矩阵， A+B 不一定为正交阵；

①各行/列为单位向量（模为1）；②行/列两两正交；

五、实对称矩阵

n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（a_{ij}=a_{ji}）

1.特征值全为实数、特征向量全为实数； A^T,A^{*},A^{-1} 为实对称矩阵。

2.必能相似化，且存在正交矩阵Q ，使 Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=Lambda ;

非对称矩阵一定不能通过正交阵Q相似对角化。（正交变换）

3.不同特征值的特征向量必定正交（alphabeta^T=0）

可逆阵P是无关特征向量，正交阵Q是单位正交特征向量(" Qin P ")

4.实对称矩阵A：

①k重特征值有k个线性无关的特征向量；

②非0特征值个数等于矩阵的秩；

③谱分解： n 阶实对称矩阵A 属于 lambda_{1},lambda_{2}...lambda_{n} 的单位正交特征向量为 xi_{1},xi_{2}...xi_{n} ，则

A=lambda_{1}xi_{1}xi_{1}^{T}+lambda_{2}xi_{2}xi_{2}^{T}+…+lambda_{n}xi_{n}xi_{n}^{T}

5.任意矩阵 m×n 矩阵 C ，有 CC^T ,C^TC 为实对称矩阵；

6. n 阶实对称矩阵A 的特征值为 lambda_1,lambda_2 （ n-1 重）, xi_1 为 lambda_1 特征向量，若非0 xi 满足 xibotxi_1 ,则 xi 必为对应 lambda_2 的特征向量。（求解时只剩一个特征值就能用）

六、合同

存在可逆矩阵Q ，使 Q^{T}AQ=B ，记 Asimeq B ;

二次型的可逆线性变换与实对称矩阵的合同变换一一对应

1.实对称矩阵 A 与 B 合同 Leftrightarrowx^{T}Ax 和 x^TBx 具有相同的正负惯性指数（标准型下-特征值）

2.实对称矩阵 A 与 B 合同 Rightarrowr(A)=r(B) , A^T 与 B^T 合同， A^T 与 B^T 合同.

3..实对称矩阵 A 与 B 相似 RightarrowA 与 B 合同

相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同）必合同（秩和正负惯性指数相同），合同必等价（秩相同）