合同矩阵一定是相似矩阵吗(矩阵的合同和相似的关系)

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矩阵的合同和相似本身并没有什么必然联系，之所以把这两个串起来完全是为了计算二次型的需要而已。

记 mathbf{C}^TAmathbf{C}=mathbf{Lambda}_1 、 mathbf{P}^{-1}Amathbf{P}=mathbf{Lambda}_2

在计算二次型时，我们需要想办法将一般形变成标准形，所以我们需要计算出 mathbf{C} ,计算 mathbf{C} 的方法不止一种，比如还有配方法，还有一种就是利用矩阵相似来计算。

参考我之前写的一篇相似矩阵的可逆变换矩阵P是否唯一，可以知道 mathbf{P} 本身不是唯一的，所以这就为我们有了使得 mathbf{Lambda}_1=mathbf{Lambda}_2 的可能，所以我们的关键是要找出， mathbf{P} 满足什么条件的情况下，等式 mathbf{Lambda}_1=mathbf{Lambda}_2 才会成立呢？

不难想到假如 mathbf{P}^{-1}=mathbf{C}^T 的话，那么 mathbf{Lambda}_1=mathbf{Lambda}_2 一定是相等的，所以这里就引出了另一个定义就是正交矩阵的定义：若 mathbf{BB}^T=E ，那么称矩阵 mathbf{B} 为正交矩阵。

所以我们只要令矩阵mathbf{P} 为正交矩阵就可以，反正 mathbf{P} 的取值又不唯一，所以这时我们就可以通过计算 mathbf{P} 来间接计算出 mathbf{C} 了，即 mathbf{C}^T=mathbf{P}^{-1} 。

所以对于一个普通矩阵，只要其可以对角化，那么就有办法通过计算 mathbf{P} 来计算出 mathbf{C} 了。

这是我们需要做的就是

判断矩阵是否可对角化

利用矩阵的特征向量来获得初步 mathbf{P}_1

对 mathbf{P}_1 进行正交化和单位化得到 mathbf{P}

mathbf{P}=mathbf{C}

这里 mathbf{A} 有一个比较特殊的情况就是 mathbf{A} 为实对称举矩阵时，我们可以不用进行第一步判断，同时也可以减少第三步的正交化计算量，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量本身就是正交的。

但是当我们如果判断矩阵 mathbf{A} 不能对角化时应该怎么计算 mathbf{C} 呢？

这时我们直接把 mathbf{A} 化成对角矩阵就好了，因为我们的目的只是为了算出能使二次型化为标准形的矩阵而已，所以可以这样做。

但是要注意假如一个矩阵本身可以对角化，那么其直接计算得到的 mathbf{C} 和通过变换成对称矩阵得到的 mathbf{C} 是不一样的，而且通过变成对称矩阵后的计算得到的对角矩阵中的元素不再是原来未变换之前的矩阵的特征值了。

所以其实上面计算的步骤可以将第一步，换成将 mathbf{A} 变换成对称矩阵

那么怎么把 mathbf{A} 变成对称矩阵呢，很容易就是把关于主对角线对称的两个元素相加，除2然后再放回对应的位置，组成的矩阵就是对称矩阵 mathbf{A}

注意：

这里需要注意的是这种方式计算出来的对角矩阵只是其中一种情况，因为二次型对应的对角矩阵也是不唯一的，由矩阵 mathbf{C} 决定的。

就是在第三步中必须进行单位化，因为这样计算出来的矩阵才是正交矩阵，虽然说不单位化也可以将 mathbf{A} 对角化，但是这里我们的目的不是使 mathbf{A} 对角化，而是计算出 mathbf{C} ，不进行单位化的 mathbf{P}_1 就不是 mathbf{C}

这种方式计算出来的二次型的标准形系数为矩阵 mathbf{A} 的特征值