矩阵合同一定相似(矩阵等价、合同、相似的联系与区别)

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矩阵等价、合同、相似的联系与区别

这篇文章不想罗列等价、相似、合同的各种充分条件必要条件之类的，这些你们都可以从辅导书里看到，本文目的是想让同学们在更大的宏观视角把控线代，理解线代内涵，而不是机械的套公式应付考试。

首先给出三者的关系：同型矩阵秩相等即为等价，而相似、合同秩必相等，因此，合同、相似包含等价，等价是最弱的。

矩阵等价

学习数学概念，一定要深刻搞懂它的含义，所以在学习中，我会问自己，矩阵的等价有什么意义？我知道函数极限的等价有用，那矩阵的等价有什么意义，一个矩阵可以通过初等变换变成另外一个矩阵，这样有什么意义？只有不断问自己问题，并一一去解决，你的线代（学习其他学科何尝不是如此）才算学透，仅仅套定义套公式，说实话，即使能应付一下考研，也失去了学数学的意义。

这里说一下我对矩阵等价的理解：举个例子，解析几何中为了求线段 AB 的长度，要先建立坐标系，在这个坐标系下写出 A,B 两点的坐标，再根据公式求出 AB 长度。注意这里的坐标系是可以任意选取的，选择的坐标系不同，A,B 两点的坐标就不同，但 AB 的长度是不会变化的，也就是说长度是坐标变换下的不变量。

回到矩阵和线性方程组的问题,考虑最简单的一元方程 x+1=0 和 2x+2=0，它们的解相同，但方程的形式不一样，像这样改变线性方程组的形式但不改变解的性质（有无解，解是否唯一等），翻译成矩阵语言就是，对矩阵做初等变换后矩阵的秩不变，我们称这样两个矩阵是等价的。像这种“在变化中找不变”的例子还有很多，例如线性变换中矩阵的迹是不变量等，而我们往往对这些不变量最感兴趣。

有了矩阵等价的概念，我们解线性方程组时就不用再对每个方程进行变化了，而直接研究其系数构成的矩阵，对其进行初等变换，就可以了解方程组的解的情况，并求出方程组的解。矩阵等价用矩阵乘法表示出来就是：矩阵 A,B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 和 Q 使得B=PAQ。

注意线性代数中关于两个矩阵之间的很多关系其实都是等价关系，例如 A,B 合同要求存在可逆矩阵 C，使得 B=(C^T)AC ， A,B 相似要求存在可逆矩阵 P ，使得 B=P^{-1}AP ，注意这些情况里 A 和 B 都满足等价的定义。也就是说矩阵合同和矩阵相似都是矩阵等价中的特例。

矩阵相似

很多同学学完线代一脸懵逼，什么合同，什么相似，根本不知所云，学这个有什么用？判别两矩阵相似意义在哪？因此我先讲讲相似的含义，理解矩阵相似合同的意义。咱不扯什么线性变换，就从矩阵本身来说。线性代数整个在干的事就是在各种意义下分类矩阵。没错，就这么回事，分类——分门别类。

这里“各种意义”是什么意思呢？如果你对数学比较熟悉的话，当我说到“分类”这个词时，你就肯定会想到另一个词“等价关系”。一种等价关系决定一种分类方法，反过来说也对。

相似就是一种等价关系，线代书上想必都是证明过这个结论的。所以，我们就可以愉快的用相似来对各种各样的矩阵进行分类啦。把所有相似的矩阵都给我放到一块，它们里面随便拿哪个出来都可以作为这一个类的代表，那我们当然就想找一个看着养眼（比较漂亮(๑> <๑））的矩阵来代表这个类啦。这个比较漂亮的矩阵就叫标准型，我们加上修饰语“相似”，就变成了相似标准型，没错，它就是我们早就知道的若尔当标准型。一个类里的矩阵必然有很多共性（不是一家人，不进一家门嘛），因此迹啊，特征值啊，不变因子啊…很多东西都是相等的，这些叫作这个等价关系下的不变量。如果我们把这些不变量找全（或者其中起决定性的某几个不变量）了，那么根据不变量就能轻松识别哪些矩阵是相似的了。

其他的一些矩阵之间的关系也都可以作类似理解，例如相抵，合同等，就是从不同角度对矩阵分类…现在回答之前提到的问题，相似能用来干嘛？很简单嘛，能用来分类啊（咦，好像是废话…）面对纷繁复杂的世界，我们能做的不就是分类吗！其实学到现在的数学，「我越来越觉得很多数学本质上都是在做分类工作。」

那考研中相似怎么考呢？一定要熟练使用相似定义，选择题考相似基本就是用定义做，其次知道特征值相同即相似，利用两矩阵同时可对角化，且特征值相同，可以得出两矩阵相似。

矩阵合同

研究合同矩阵有什么意义呢？如果你是经济专业学过计量的话，应该知道估计参数的方差——协方差矩阵，它就是实对称矩阵，主对角线是方差，所以在计量范围内合同矩阵应用很广泛，因为各种检验都依赖于方差协方差变换。

当然合同矩阵不一定对对称矩阵而言（定义上不要求被作用的矩阵对称），只要左边作用一个可逆矩阵的转置，右边作用该可逆矩阵，所得的矩阵即与原矩阵合同。当然，一般是对对称矩阵作用（考研范围内），所以下面只讨论对称矩阵的合同与相似。

合同等价于正负惯性指数相同，正负惯性指数的符号即为特征值的符号。于是，对称矩阵相似即合同（相似的特征值相同，正负号一定也相同，所以一定程度上可以认为相似比合同严格）。合同不一定相似（即使对对称矩阵而言），仅仅当用正交矩阵作用时，合同才与相似一致。

所以总结一下，对对称矩阵而言，相似 => 合同 => 等价。对一般矩阵而言，相似和合同无必然联系（即相似不一定合同，因为相似变换矩阵不一定正交；合同不一定相似，也是因为合同变换矩阵不一定正交），但都能推出等价。